Квазіізометрія

У математиці квазіізометрія — це функція між двома метричними просторами, яка враховує великомасштабну геометрію цих просторів і нехтує їх дрібні деталі. Два метричні простори є квазіізометричними, якщо між ними існує квазіізометрія. Властивість бути квазіізометричним поводиться як відношення еквівалентності в класі метричних просторів.

Концепція квазіізометрії особливо важлива в геометричній теорії груп, що відбито в працях Громова.

Ця ґратка квазіізометрична площині.

Визначення

Припустимо, що $f$ є (не обов'язково неперервним) відображенням з одного метричного простору $(M_{1},d_{1})$ у другий метричний простір $(M_{2},d_{2})$. $f$ називають квазіізометрією з $(M_{1},d_{1})$ у $(M_{2},d_{2})$, якщо існують сталі $A\geq 1$, $B\geq 0$, і $C\geq 0$ такі, що:

1. для кожних двох точок $x$ і $y$ в $M_{1}$:

   $\forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.$

2. кожна точка $M_{2}$ міститься в межах сталої відстані $C$ від точки образу. Формальніше:

   $\forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.$

Два метричні простори $(M_{1},d_{1})$ і $(M_{2},d_{2})$ називають квазіізометричними, якщо існує квазіізометрія $f$ з $(M_{1},d_{1})$ у $(M_{2},d_{2})$.

Відображення називають квазіізометричним вкладенням, якщо воно задовольняє першій умові, але не обов'язково другій (тобто воно є приблизно ліпшицевим, але може не бути приблизно сюр'єктивним). Іншими словами, якщо при відображенні $(M_{1},d_{1})$ є квазіізометричним до підпростору $(M_{2},d_{2})$.

Два метричні простори $M_{1}$ і $M_{2}$ називають квазіізометричними, що позначається $M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}$, якщо існує квазіізометрія $f:M_{1}\to M_{2}$.

Приклади

Відображення між евклідовою площиною та площиною з мангеттенською відстанню, яке відображає кожну точку в себе, є квазіізометрією: у ній відстані помножені на коефіцієнт щонайбільше ${\sqrt {2}}$. Зверніть увагу, що тут не може бути ізометрії, оскільки, наприклад, манхеттенська відстань між точками $(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$однакова, але на евклідовій площині не існує 4 точок, які б були на однаковій відстані одна від одної.

Відображення $f:\mathbb {Z} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ (обидва з евклідовою метрикою), яке переводить кожен $n$-кортеж цілих чисел у самого себе є квазіізометрією: відстані зберігаються точно, і кожен дійсний кортеж лежить у межах ${\sqrt {n/4}}$ від цілочисельного кортежу. З іншого боку, розривна функція, яка округлює кожен кортеж дійсних чисел до найближчого цілого кортежу, також є квазіізометрією: кожна точка переводиться цим відображенням у точку в межах ${\sqrt {n/4}}$ від неї, тобто округлення змінює відстань між парами точок додавання або віднімання максимум $2{\sqrt {n/4}}$.

Кожна пара скінченних або обмежених метричних просторів є квазіізометричною. У цьому випадку кожне відображення з одного простору в інший є квазіізометрією.

Відношення еквівалентності

Якщо $f:M_{1}\mapsto M_{2}$ є квазіізометрією, то існує квазіізометрія $g:M_{2}\mapsto M_{1}$. Дійсно, $g(x)$ можна визначити, взявши як $y$ будь-яку точку на образі $f$, розташовану в межах відстані $C$ від $x$, та як $g(x)$ будь-яку точку в $f^{-1}(y)$.

Оскільки тотожне відображення є квазіізометрією, а композиція двох квазіізометрій є квазіізометрією, то властивість бути квазіізометричним поводиться в класі метричних просторів як відношення еквівалентності.

Використання в геометричній теорії груп

Якщо дано скінченну породжувальну множину S скінченнопородженої групи G, можна сформувати відповідний граф Келі S і G. Якщо оголосити довжину кожного ребра рівною 1, цей граф стає метричним простором. Взяття іншої скінченної породжувальної множини T приводить до іншого графа та іншого метричного простору, однак ці два простори є квазіізометричними. Отже, цей клас квазіізометрії є інваріантом групи G. Будь-яка властивість метричних просторів, яка залежить лише від класу квазіізометрії простору, негайно дає інший інваріант груп, відкриваючи галузь теорії груп для геометричних методів.

Загалом, лема Шварца — Мілнора стверджує, що якщо група G діє цілком розривно з компактним фактором на властивому геодезичному просторі X, то G є квазіізометричною відносно X (це означає, що будь-який граф Кейлі для G є квазіізометричним). Це дає нові приклади груп, квазіізометричних одна одній:

• Якщо G' — підгрупа скінченного індексу в G, то G' є квазіізометричною G;
• Якщо G і H — фундаментальні групи двох компактних гіперболічних многовидів однакової розмірності d, то обидві вони квазіізометричні гіперболічному простору H^d і, отже, одна одній; з іншого боку, існує нескінченна кількість класів квазіізометрії фундаментальних груп скінченного об'єму.

Квазігеодезичні та лема Морса

Квазігеодезична в метричному просторі $(X,d)$ є квазіізометричним вкладенням $\mathbb {R}$ в $X$. Точніше відображення $\phi :\mathbb {R} \to X$ таке, що існує $C,K>0$ так що

$\forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K$

називають $(C,K)$-квазігеодезичною. Очевидно, геодезичні (параметризовані довжиною дуги) є квазігеодезичними. Той факт, що в деяких просторах зворотне приблизно істинне, тобто що кожна квазігеодезична залишається на обмеженій відстані від справжньої геодезичної, називають лемою Морса (не плутати з, можливо, відомішою лемою Морса в диференціальній топології). Формальніше:

Нехай $\delta ,C,K>0$ і $X$ властивий δ-гіперболічний простір. Існує $M$ таке, що для будь-якої $(C,K)$-квазігеодезичної $\phi$ існує в $X$ геодезична $L$ така, що $d(\phi (t),L)\leq M$ для усіх $t\in \mathbb {R}$.

Це важливий засіб у геометричній теорії груп. Безпосереднім застосуванням є те, що будь-яка квазіізометрія між власне гіперболічними просторами індукує гомеоморфізм між їхніми межами. Цей результат є першим кроком у доведенні теореми про жорсткість Мостова.

Приклади квазіізометричних інваріантів груп

Нижче наведено кілька прикладів властивостей графів груп Келі, які є інваріантними відносно квазіізометрії:

Гіперболічність

Групу називають гіперболічною, якщо один із її графів Келі є δ-гіперболічним простором для деякого δ. При переході між різними визначеннями гіперболічності конкретне значення δ може змінюватися, але отримані поняття гіперболічної групи виявляються еквівалентними.

Гіперболічні групи мають розв'язну словесну задачу. Вони є біавтоматичними та автоматичними: справді, вони сильно геодезично автоматичні, тобто в групі існує автоматична структура, де мовою, прийнятою для акцептора слів, є набір усіх геодезичних слів.

Зростання

Ступінь зростання групи відносно симетричної породжувальної множини описує розмір куль у групі. Кожен елемент у групі можна записати як добуток твірних, а ступінь зростання підраховує кількість елементів, які можна записати як добуток довжини n.

За теоремою Громова, група поліноміального зростання є віртуально нільпотентною, тобто має нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Зокрема, порядок зростання полінома $k_{0}$ має бути натуральним числом і, фактично, $\#(n)\sim n^{k_{0}}$ .

Якщо $\#(n)$ зростає повільніше, ніж будь-яка експоненційна функція, G має субекспоненціальний ступінь зростання. Будь-яка така група аменабельна.

Кінці

Кінці топологічного простору — це, грубо кажучи, сполучні компоненти «ідеальної межі» простору. Тобто кожен кінець представляє топологічно окремий спосіб переміщення до нескінченності в просторі. Додання точки на кожному кінці дає компактифікацію початкового простору, відому як кінцева компактифікація.

Кінці скінченнопородженої групи визначаються як кінці відповідного графа Келі; це визначення не залежить від вибору скінченної породжувальної множини. Кожна скінченнопороджена нескінченна група має 0, 1, 2 або нескінченно багато кінців, а теорема Столлінгса про кінці груп забезпечує розкладання для груп з більш ніж одним кінцем.

Якщо два зв'язні локально скінченні графи є квазіізометричними, то вони мають однакову кількість кінців. Зокрема, дві квазіізометричні скінченно породжені групи мають однакову кількість кінців.

Аменабельність

Аменабельна група — локально компактна топологічна група G з операцію усереднення на обмежених функціях, яка є інваріантною відносно трансляції елементів групи. Оригінальне визначення в термінах скінченно адитивної інваріантної міри (або середнього) на підмножинах G увів Джон фон Нейман 1929 року під німецькою назвою «messbar» (вимірний) у відповідь на парадокс Банаха — Тарського. 1949 року Маглон М. Дей запропонував англійський переклад «amenable», мабуть, як гру слів.

У теорії дискретних груп, де G має дискретну топологію, використовується простіше визначення. У цьому випадку група є аменабельною, якщо можна сказати, яку частку G займає будь-яка дана підмножина.

Якщо група має послідовність Фьолнера, вона автоматично є аменабельною.

Асимптотичний конус

Ультрамежа — це геометрична побудова, яка визначає для послідовності метричних просторів X_n граничний метричний простір. Важливим класом ультрамеж є так звані асимптотичні конуси метричних просторів. Нехай (X,d) — метричний простір, ω — неголовний ультрафільтр на $\mathbb {N}$ і нехай p_n ∈ X — послідовність базових точок. Тоді ω — ультрамежа послідовності $(X,{\frac {d}{n}},p_{n})$ називають асимптотичним конусом X відносно ω і $(p_{n})_{n}\,$ і позначають $Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,$. Часто приймають послідовність базових точок сталою, p_n = p для деякого p ∈ X; в цьому випадку асимптотичний конус не залежить від вибору p ∈ X і позначається $Cone_{\omega }(X,d)\,$ або просто $Cone_{\omega }(X)\,$.

Поняття асимптотичного конуса відіграє важливу роль у геометричній теорії груп, оскільки асимптотичні конуси (або, точніше, їх топологічні типи та бі-ліпшицеві типи) забезпечують квазіізометричні інваріанти метричних просторів загалом і скінченно породжених груп зокрема. Асимптотичні конуси також виявляються корисним інструментом у вивченні відносно гіперболічних груп та їх узагальнень.

Див. також

• Ізометрія