Кільце дискретного нормування

Кільце дискретного нормування  — область цілісності R з одиницею, в якій існує такий елемент $\pi \in R$, що будь-який ненульовий ідеал породжується деяким степенем елемента $\pi \in R$. Даний елемент визначений з точністю до множення на оборотний елемент. Кожен ненульовий елемент кільця дискретного нормування єдиним способом записується у вигляді $u\pi ^{n}$, де u  — оборотний елемент, а n ≥ 0  — ціле число.

Кільце дискретного нормування можна отримати в результаті дискретного нормування деякого поля вибором підмножини елементів з невід'ємною нормою.

Еквівалентні визначення

Кільце дискретного нормування  — це цілісне кільце R, яке задовольняє наступним еквівалентним умовам, кожну з яких можна прийняти за визначення кільця:

1. R  — локальне кільце головних ідеалів, яка не є полем.
2. R  — локальне кільце Дедекінда, яке не є полем.
3. R  — локальне кільце Нетер, розмірність Круля якого дорівнює одиниці, а єдиний максимальний ідеал  — головний.
4. R  — Цілозамкнуте одновимірне локальне нетерове кільце.
5. R  — кільце головних ідеалів з єдиним ненульовим простим ідеалом.
6. R  — факторіальне кільце з єдиним незвідним елементом (з точністю до множення на оборотні елементи кільця).
7. R не є полем і кожен його ненульовий дробовий ідеал є незвідним, тобто не може бути записаний як перетин скінченної кількості дробових ідеалів, що містять цей ідеал і не рівні йому.
8. Існує дискретне нормування поля часток кільця R, таке що R збігається з множиною елементів з невід'ємною нормою.

Приклади

• Позначимо $\mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\nmid \;2\}.$ Поле часток цього кільця  — множина раціональних чисел $\mathbb {Q} .$ Розкладемо чисельник і знаменник довільного раціонального $r$ на прості числа і запишемо його у вигляді $2^{k}p/q$ з непарними $p,q$ і визначимо $v(r)=k.$ Тоді $\mathbb {Z} _{(2)}$  — кільце дискретного нормування, що відповідає $v$. Зауважимо, що $\mathbb {Z} _{(2)}$  — локалізація дедекіндового кільця $\mathbb {Z}$ по простому ідеалу $(2)$. Виявляється, що локалізація будь-якого дедекіндового кільця по ненульовому простому ідеалу  — кільце дискретного нормування.
• У ролі більш геометричного прикладу візьмемо кільце раціональних функцій, знаменник яких не дорівнює нулю в точці 0, тобто функцій, які визначені в деякому околі нуля. Такі функції утворюють кільце дискретного нормування, єдиний незвідний елемент якого  — функція $x$ (з точністю до множення на оборотні елементи), а відповідне нормування раціональних функцій  — порядок нуля (можливо, нульовий або від'ємний) цієї функції в нулі. Цей приклад є стандартним для вивчення алгебраїчних кривих в неособливій точці; в даному випадку, алгебраїчна крива  — дійсна вісь.
• Інший важливий приклад  — кільце формальних степеневих рядів; тут незвідним елементом є ряд $x$, а нормування  — степінь першого ненульового коефіцієнта. Якщо обмежитися дійсними або комплексними коефіцієнтами, можна розглянути ряди, що збігаються в деякому околі нуля  — це як і раніше кільце дискретного нормування.
• Кільце p-адичних цілих чисел $\mathbb {Z} _{p}$.

Топологія

Будь-яке кільце дискретного нормування природним чином є топологічним кільцем, відстань між елементами x і y задається наступним чином:

$|x-y|=2^{-\nu (x-y)}$

(Замість 2 можна взяти будь-яке дійсне число > 1). Інтуїтивно, елемент малий (близький до нуля), якщо його норма велика.

Кільце дискретного нормування є компактним тоді і тільки тоді, коли воно є повним і поле лишків R/m ( m  — максимальний ідеал) є скінченним. Компактне кільце або є ізоморфним кільцю $k[[T]]$ формальних степеневих рядів над скінченним полем k або є скінченним розширенням кільця $\mathbb {Z} _{p}$.

Розширення кілець

Якщо $A\subset B$  — кільця дискретного нормування з відповідними елементами $\pi$ і $\Pi$, то $\pi =u\Pi ^{e}$, де u  — оборотний елемент в В. Ціле число $e=e(B/A)$ називається індексом розгалуження розширення $A\subset B$, а

$[B/\Pi B:A/\pi A]=f(B/A)$

називається степенем лишків.

Така ситуація виникає, коли розглядають ціле замикання B кільця дискретного нормування A з полем часток K в скінченному розширенні L поля K. У цьому випадку B є напівлокальним кільцем головних ідеалів, і якщо ${\mathfrak {p}}_{1},...,{\mathfrak {p}}_{s}$  — його максимальні ідеали, то $B_{i}=B_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ є кільцями дискретного нормування. Якщо припустити, що L  — сепарабельне розширення K степеня n, то справедливою є формула:

$\sum _{i=1}^{s}e(B_{i}/A)f(B_{i}/A)=n.$

Якщо L/K є розширенням Галуа, то всі $e(B_{i}/A)$ і всі $f(B_{i}/A$) рівні між собою, і $n=sef$.

Якщо ж A  — повне кільця дискретного нормування, то також В буде кільцем дискретного нормування, і $e(B/A)f(B/A)=n.$ У цих припущеннях розширення $A\subset B$ (а також L над K) називається нерозгалуженим розширенням, якщо $e(B/A)=1$, а поле $B/{\mathfrak {p}}$ є сепарабельним над $A/{\mathfrak {m}}$; слабо розгалуженим, якщо $e(B/A)$ є взаємно простим з характеристикою поля $A/{\mathfrak {m}}$, а $B/{\mathfrak {p}}$ є сепарабельним над $A/{\mathfrak {m}}$; цілком розгалуженим, якщо $f(B/A)=1$.

Модулі над кільцями дискретного нормування

Теорія модулів над кільцями дискретного нормування має велику схожість з теорією абелевих груп.

• Будь-який скінченнопороджений модуль є прямою сумою циклічних модулів;
• Модуль без кручень є плоским модулем;
• Довільний проективний модуль або підмодуль вільного модуля є вільним модулем. Однак прямий добуток нескінченного числа вільних модулів не обов'язково є вільним.
• Модуль без кручень зліченного рангу над повним кільцем дискретного нормування є прямою сумою модулів рангу 1.

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Discretely-normed_ring, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Література

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.