Кільце дискретного нормування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Кільце дискретного нормування  — область цілісності R з одиницею, в якій існує такий елемент , що будь-який ненульовий ідеал породжується деяким степенем елемента . Даний елемент визначений з точністю до множення на оборотний елемент. Кожен ненульовий елемент кільця дискретного нормування єдиним способом записується у вигляді , де u  — оборотний елемент, а n ≥ 0  — ціле число.

Кільце дискретного нормування можна отримати в результаті дискретного нормування деякого поля вибором підмножини елементів з невід'ємною нормою.

Еквівалентні визначення

[ред. | ред. код]

Кільце дискретного нормування  — це цілісне кільце R, яке задовольняє наступним еквівалентним умовам, кожну з яких можна прийняти за визначення кільця:

  1. R  — локальне кільце головних ідеалів, яка не є полем.
  2. R  — локальне кільце Дедекінда, яке не є полем.
  3. R  — локальне кільце Нетер, розмірність Круля якого дорівнює одиниці, а єдиний максимальний ідеал  — головний.
  4. R  — Цілозамкнуте одновимірне локальне нетерове кільце.
  5. R  — кільце головних ідеалів з єдиним ненульовим простим ідеалом.
  6. R  — факторіальне кільце з єдиним незвідним елементом (з точністю до множення на оборотні елементи кільця).
  7. R не є полем і кожен його ненульовий дробовий ідеал є незвідним, тобто не може бути записаний як перетин скінченної кількості дробових ідеалів, що містять цей ідеал і не рівні йому.
  8. Існує дискретне нормування поля часток кільця R, таке що R збігається з множиною елементів з невід'ємною нормою.

Приклади

[ред. | ред. код]
  • Позначимо Поле часток цього кільця  — множина раціональних чисел Розкладемо чисельник і знаменник довільного раціонального на прості числа і запишемо його у вигляді з непарними і визначимо Тоді  — кільце дискретного нормування, що відповідає . Зауважимо, що  — локалізація дедекіндового кільця по простому ідеалу . Виявляється, що локалізація будь-якого дедекіндового кільця по ненульовому простому ідеалу  — кільце дискретного нормування.
  • У ролі більш геометричного прикладу візьмемо кільце раціональних функцій, знаменник яких не дорівнює нулю в точці 0, тобто функцій, які визначені в деякому околі нуля. Такі функції утворюють кільце дискретного нормування, єдиний незвідний елемент якого  — функція (з точністю до множення на оборотні елементи), а відповідне нормування раціональних функцій  — порядок нуля (можливо, нульовий або від'ємний) цієї функції в нулі. Цей приклад є стандартним для вивчення алгебраїчних кривих в неособливій точці; в даному випадку, алгебраїчна крива  — дійсна вісь.
  • Інший важливий приклад  — кільце формальних степеневих рядів; тут незвідним елементом є ряд , а нормування  — степінь першого ненульового коефіцієнта. Якщо обмежитися дійсними або комплексними коефіцієнтами, можна розглянути ряди, що збігаються в деякому околі нуля  — це як і раніше кільце дискретного нормування.
  • Кільце p-адичних цілих чисел .

Топологія

[ред. | ред. код]

Будь-яке кільце дискретного нормування природним чином є топологічним кільцем, відстань між елементами x і y задається наступним чином:

(Замість 2 можна взяти будь-яке дійсне число > 1). Інтуїтивно, елемент малий (близький до нуля), якщо його норма велика.

Кільце дискретного нормування є компактним тоді і тільки тоді, коли воно є повним і поле лишків R/m ( m  — максимальний ідеал) є скінченним. Компактне кільце або є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів над скінченним полем k або є скінченним розширенням кільця .

Розширення кілець

[ред. | ред. код]

Якщо  — кільця дискретного нормування з відповідними елементами і , то , де u  — оборотний елемент в В. Ціле число називається індексом розгалуження розширення , а

називається степенем лишків.

Така ситуація виникає, коли розглядають ціле замикання B кільця дискретного нормування A з полем часток K в скінченному розширенні L поля K. У цьому випадку B є напівлокальним кільцем головних ідеалів, і якщо  — його максимальні ідеали, то є кільцями дискретного нормування. Якщо припустити, що L  — сепарабельне розширення K степеня n, то справедливою є формула:

Якщо L/K є розширенням Галуа, то всі і всі ) рівні між собою, і .

Якщо ж A  — повне кільця дискретного нормування, то також В буде кільцем дискретного нормування, і У цих припущеннях розширення (а також L над K) називається нерозгалуженим розширенням, якщо , а поле є сепарабельним над ; слабо розгалуженим, якщо є взаємно простим з характеристикою поля , а є сепарабельним над ; цілком розгалуженим, якщо .

Модулі над кільцями дискретного нормування

[ред. | ред. код]

Теорія модулів над кільцями дискретного нормування має велику схожість з теорією абелевих груп.

  • Будь-який скінченнопороджений модуль є прямою сумою циклічних модулів;
  • Модуль без кручень є плоским модулем;
  • Довільний проективний модуль або підмодуль вільного модуля є вільним модулем. Однак прямий добуток нескінченного числа вільних модулів не обов'язково є вільним.
  • Модуль без кручень зліченного рангу над повним кільцем дискретного нормування є прямою сумою модулів рангу 1.

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Discretely-normed_ring, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Література

[ред. | ред. код]