В математиці, нерівність Шура, названа в честь німецького математика Іссаї Шура, стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа
та довільних невід'ємних дійсних чисел
справджується наступна нерівність:
причому, рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або
або два з чисел
рівні між собою, а третє є нулем.
Найбільш вживаним та відомим є випадок при
, коли дана нерівність набуває вигляду
Оскільки нерівність симетрична відносно змінних
, то без обмеження загальності, вважатимемо
. Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:
яка виконується з огляду на те, що
. Також, очевидно що рівність можлива лиш при
або
та
. Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або
або два з чисел
рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.
Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел
та невід'ємних дійсних
:
яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:
та ![{\displaystyle a\geqslant b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f56ffef28d47e0e9b1889c94bdab0185ca1b85)
та ![{\displaystyle c\geqslant b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285ac6eb43ffe3a8c673e034f6def34899bb594d)
та ![{\displaystyle a+c\geqslant b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b287d6234be4f6a78da403a41190add1d3a6b0)
та ![{\displaystyle ax\geqslant by}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4974eaa0c5679cb9243325890d43d13fa5e974ae)
та ![{\displaystyle cz\geqslant by}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5afc2ccc3c5b0d0378d3713b6154009d19acd1)
та ![{\displaystyle ax+cz\geqslant by}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be2e159c9ed7d65c992aff0c1195409ac1dd5e6)
- сторони деякого трикутника
- квадрати сторін деякого трикутника
- сторони деякого трикутника
- квадрати сторін деякого трикутника
- Існує опукла функція або монотонна
, де
- це інтервал, що містить числа
,
,
, причому
,
, ![{\displaystyle c=f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0be0b0a59bfd7c4d8bc65b0e8eb403957cbc34)
В 2007 році румунський математик Валентин Ворніку показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:
Якщо
, причому
та або
чи
і
та
є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:
Неважко переконатись, що при
ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.
- https://web.archive.org/web/20160426234320/http://web.mit.edu/~darij/www/VornicuS.pdf
- http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vornicu-Schur_Inequality
- http://www.imomath.com/index.php?options=596