Обернене відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c\;\in {X}:$

рефлексивність $(aRa)\!$
антирефлексивність $\lnot (aRa)\!$

симетричність $aRb\Rightarrow bRa\!$
асиметричність $aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$

антисиметричність $aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$

транзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$
антитранзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)$

повнота $aRb\vee bRa\!$

Обернене відношення — в математиці це бінарне відношення, взяте в зворотному порядку по відношенню до даного.

Визначення

Нехай на множині $X$ задано бінарне відношення $R.$ Тоді його зворотним називається відношення $R^{-1},$ побудоване таким чином:

$\forall x,y\in X\quad {\bigl (}xR^{-1}y{\bigr )}\Leftrightarrow {\bigl (}yRx{\bigr )}.$

Властивості

• Відношення рівне своєму оберненому є симетричним.
• Якщо відношення $R$ має такі властивості: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, антисиметричність і транзитивність, то й обернене відношення $R^{-1}$ має такі ж властивості.
• Якщо відношення $R$ ін'єктивне, сюр'єктивне або функціональне, то $R^{-1},$ не обов'язково буде таким же.

Приклади

• Для відношення "бути батьком", оберненим є "бути сином". Для відношення "бути предком" є зворотнім відношення "бути нащадком"
• На множині дійсних чисел оберненим до відношення < (менше) є відношення > (більше).

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)