Антисиметричне відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c\;\in {X}:$

рефлексивність $(aRa)\!$
антирефлексивність $\lnot (aRa)\!$

симетричність $aRb\Rightarrow bRa\!$
асиметричність $aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$

антисиметричність $aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$

транзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$
антитранзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)$

повнота $aRb\vee bRa\!$

В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, таких що a відноситься до b, і a$\neq$b, випливає що b не відноситься до a.

$\forall a,b\in X,\ aRb\land a\neq b\Rightarrow \lnot R(b,a).$

Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами. Проте з вище вказаної умови випливає співвідношення:

$\forall a,b\in X,\ aRb\land bRa\;\Rightarrow \;a=b$

Рівність a = b отримаємо лише у випадку рефлексивого відношення.

У випадку, якщо на антисиметричне відношення додатково накласти умову антирефлексивності, то відношення стане асиметричним:

$\forall a,b\in X,\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$.

Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел x і y обидві нерівності x ≤ y і y ≤ x виконуються, то x і y мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини A і B, якщо кожен елемент, що знаходиться в A також знаходиться в B і кожен елемент B також в A, то A і B повинні містити однакові елементи, тоді:

$A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B$

Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.

Приклади

• Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже a ≤ b та b ≤ a одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли a=b.
• Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
• Антисиметричним відношенням на підмножині цілих чисел буде відношення ділення. Якщо, a ділить b та b ділить a, то a = b.

Властивості

Антисиметричність не є оберненою до симетричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: «дорівнює» (" $=\!$ ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: «менше або дорівнює» (" $\leq \!$ ").

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)