Умова Гельдера

Умова Гельдера — нерівність, що обмежує зміну значення функції через зміну її аргумента. Є узагальненням умови Ліпшіца. Функції, що задовольняють умови Гельдера утворюють повний нормований простір, що називається простором Гельдера. Простори Гельдера відіграють важливу роль в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Означення

Нехай $(X, d X)$ et $(Y, d Y)$ є метричними просторами, функція $f : X \to Y$ називається $a$ -гельдеровою в точці $y\in X$ якщо для всіх $x\in X,$ виконується умова Гельдера:

d_{Y}\left(f(x),f(y)\right)\leq C(y)d_{X}(x,y)^{a}.

Число $a$ є дійсним невід'ємним, переважно розглядаються випадки $a\in (0,1].$ У випадку $a=1$ умова Гельдера зводиться до умови Ліпшіца.

Якщо функція задовольняє умову Гельдера з коефіцієнтом $a$ в усіх точках деякої підмножини метричного простору то її називають $a$ -гельдеровою на всій множині. Часто проте при визначенні гельдерових функцій на деякій множині $\Omega$ розглядають лише функції для яких $C=\sup _{x\in \Omega }C(y)<\infty ,$ тобто для яких умову Гельдера можна записати з одною константою для всіх точок:

d_{Y}\left(f(x),f(y)\right)\leq Cd_{X}(x,y)^{a},\;\forall x,y\in \Omega .

Особливо важливим є випадок дійсних чи комплексних функцій на підмножинах евклідового простору. В цьому випадку наприклад остання рівномірна умова Гельдера записується як:

|f(x)-f(y)|\leq C\parallel x-y\parallel ^{a}

Простори Гельдера

На множині дійсних чи комплексних функцій визначених на підмножині евклідового простору, що задовольняють (рівномірну) умову Гельдера можна ввести $a$ -напівнорму Гельдера:

|f|_{a}=\sup _{x\neq y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{a}}}.

Множина функцій, що мають на відкритій підмножині $\Omega$ неперервні похідні до порядку k включно і всі похідні порядку k яких є $a$ -гельдеровими на $\Omega$ позначається $C^{k,a}.$

Ці множини називаються просторами Гельдера.

Кожна функція, що належить $C^{k,a}$ також належить $C^{k}$ — простору функцій, що мають неперервні похідні до порядку k включно. На $C^{k}$ визначається норма:

$|f|_{C^{k}}=\sum _{|\alpha |\leqslant k}|f^{\alpha }(x)|_{\infty }$

де $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ — мультиіндекс, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ і $\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$

Тоді на просторах Гельдера можна ввести ще одну норму:

$|f|_{C^{k,a}}=|f|_{C^{k}}+\sum _{|\alpha |=k}|f^{\alpha }(x)|_{a}.$

Разом із цією нормою простори Гельдера на замиканні зв'язаної обмеженої множини $\Omega$ в евклідовому просторі є повними нормованими просторами.

Властивості

Нехай ${\bar {\Omega }}$ — замикання деякої обмеженої зв'язаної області в евклідовому просторі. Якщо $k+a\leqslant l+b,\;k,l\in \mathbb {Z} ,\;0<a,b\leqslant 1,$ то існує вкладення просторів Гельдера:

C^{l,b}({\bar {\Omega }})\to C^{k,a}({\bar {\Omega }}),

і окрім того

|f|_{C^{k,a}}\leqslant A|f|_{C^{l,b}},

де константа A не залежить від функції

f\in C^{l,b}.

Для $0<a<b$ одинична куля в просторі $C^{k,b}({\bar {\Omega }})$ є компактною в просторі $C^{k,a}({\bar {\Omega }})$ і відповідно кожна обмежена множина функцій з $C^{k,b}({\bar {\Omega }})$ містить підпослідовність, що в метриці простору $C^{k,a}({\bar {\Omega }})$ збігається до функції з простору $C^{k,a}({\bar {\Omega }})$ .

Приклади

Функція f(x) = x^β (де β ≤ 1) визначена на проміжку [0, 1] належить простору C^0,α для 0 < α ≤ β, але не для α > β. Якщо f визначити аналогічно на проміжку $[0,\infty )$ , вона належатиме простору C^0,α лише для α = β.
Для α > 1, єдиними рівномірно α–гельдерівськими функціями на інтервалі [0, 1] є константи.
Функція визначена на інтервалі [0, 1/2] як $f(x)=f(n)={\begin{cases}0,&x=0\\{1 \over \log(x)},&x\in (0,1/2]\end{cases}}$ є рівномірно неперервною але не задовольняє умову Гельдера для жодного показника.
Функція Кантора задовольняє умову Гельдера для показників α ≤ log(2)/log(3) і не задовольняє для більших чисел. Коли вона задовольняє умову то у визначенні можна взяти рівномірно константу C = 2.
Крива Пеано з [0, 1] на квадрат [0, 1]² може бути побудована так, що вона буде рівномірно 1/2–гельдерівською.

Див. також

Ліпшицеве відображення

Література

Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
N. V. Krylov (1996). Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces. American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0569-X.