Ряд Ліувілля — Неймана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ряд Ліуві́лля — Не́ймана в інтегральному численні — нескінченний ряд, що відповідає розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма з неперервним малим ядром. Названий за іменами Жозефа Ліувілля і Карла Неймана.

Отримання ряду

[ред. | ред. код]

Шукатимемо розв'язок рівняння Фредгольма

методом послідовних наближень, поклавши :

Останній вираз у формулі є операторним записом інтеграла. Методом математичної індукції перевіряється така рівність:

Функція називають ітераціями. Можна показати, що всі ітерації неперервні й обмежені на :

де  — міра множини , а .

З цієї оцінки випливає, що ряд

називаний рядом Ліувілля — Неймана, мажорується числовим рядом

який збігається в крузі , тому за таких ряд Ліувілля — Неймана збігається регулярно (абсолютно і рівномірно). Це означає, що послідовні наближення при рівномірно прямують до шуканої функції .

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
  • Fredholm, Erik I. (1903), Sur une classe d'equations fonctionnelles (PDF), Acta Mathematica, 27: 365—390, doi:10.1007/bf02421317