Тригонометричний ряд

У математиці тригонометричний ряд — це ряд вигляду:

${\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx}).$

Його називають рядом Фур'є, якщо доданки $A_{n}$ і $B_{n}$ мають вигляд:

$A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,3\dots )$

$B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )$

де $f$ є інтегровною функцією .

Нулі тригонометричного ряду

Унікальність і нулі тригонометричних рядів активно досліджували в Європі XIX століття. По-перше, Георг Кантор довів, що якщо тригонометричний ряд збіжний до функції $f(x)$ на інтервалі $[0,2\pi ]$, яка тотожно дорівнює нулю або, загальніше, відмінна від нуля не більше ніж у скінченній кількості точок, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю.

Пізніше Кантор довів, що навіть якщо множина S, на якій $f$ відмінна від нуля, є нескінченною, але похідна множина S' від S скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Насправді він довів загальніший результат. Нехай S₀ = S і S_k+1 — похідна множина від S_k. Якщо існує скінченне число n, для якого S_n скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Пізніше Лебег довів, що якщо існує зліченно нескінченний ординал α такий, що S_α скінченна, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю. Робота Кантора над проблемою унікальності, як відомо, привела його до винаходу трансфінітних порядкових чисел, які з'явилися як індекси α в S_α.

Див. також

• Теорема Данжуа — Лузіна

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)