1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Перші чотири часткові суми натурального ряду. Зображена парабола є згладжувальною асимптотою цих сум і перетинає вісь ординат на позначці -1/12

Ряд із натуральних чисел — числовий ряд, члени якого є послідовними натуральними числами: $1+2+3+4+\ldots$ ; при цьому $n$ -а часткова сума ряду є трикутним числом:

\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},

яке необмежено зростає при прямуванні $n$ до нескінченності. Оскільки послідовність часткових сум ряду не має скінченної границі, ряд розбіжний.

Попри розбіжність у традиційному сенсі, деякі узагальнені операції над натуральним рядом дозволяють отримати висновки, застосовні в комплексному аналізі, квантовій теорії поля і теорії струн^[1].

Сума в узагальненому сенсі

Спеціальні методи підсумовування, що використовуються в деяких розділах математики, дозволяють присвоїти скінченні значення розбіжним числовим рядам. Зокрема, один з таких способів надає метод, заснований на регуляризації аналітичного продовження дзета-функції Рімана і підсумовуванні за методом Рамануджана^[en], дозволяють зіставити даному ряду деяке скінченне значення^[2]:

1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}},

в узагальненому сенсі суми.

Часткові суми

Частковими сумами натурального ряду є 1, 3, 6, 10, 15 і т. д. Таким чином, $n$ -а часткова сума виражається формулою

\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.

Цей вираз був відомим ще Піфагору в VI столітті до н. е.^[3] Числа такого виду називають трикутними, оскільки їх можна подати у вигляді трикутника.

Нескінченна послідовність трикутних чисел прямує до $+\infty$ і, отже, нескінченна сума натурального ряду також прямує до $+\infty$ . Такий результат є наслідком невиконання необхідної умови збіжності числового ряду.

Сумованість

У порівнянні з іншими класичними розбіжними рядами, натуральному ряду складніше приписати деяке скінченне числове значення, яке має сенс. Існує багато методів підсумовування, деякі з яких є стійкішими і потужнішими. Так, наприклад, підсумовування за Чезаро — широко відомий метод, який підсумовує помірно розбіжний ряд Гранді 1 − 1 + 1 − 1 + … і приписує йому скінченне значення 1/2. Підсумовування методом Абеля є потужнішим методом, який, крім ряду Гранді, дозволяє також підсумувати складніший знаковий ряд натуральних чисел і присвоїти йому значення 1/4.

На відміну від згаданих вище рядів, як підсумовування за Чезаро, так і метод Абеля незастосовні до натурального ряду. Ці методи працюють тільки зі збіжними і гармонічними рядами і не застосовні для ряду, часткові суми якого прямують до $+\infty$ ^[4]. Більшість елементарних визначень суми розбіжного ряду є лінійними і стійкими, а будь-який лінійний і стійкий метод не може присвоїти натуральному ряду скінченного значення. Отже, потрібні розвиненіші методи, такі як регуляризація дзета-функцією або підсумовування Рамануджана.

Евристичні передумови

Уривок з першої замітки Рамануджана, що описує скінченне значення ряду

У розділі 8 першого збірника своїх праць Рамануджан показав, що «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», використовуючи два способи^[5]^[6]^[7]. Нижче викладено простіший метод, що складається з двох етапів.

Перше ключове спостереження полягає в тому, що ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … схожий на знаковий ряд натуральних чисел 1 − 2 + 3 − 4 + …. Попри те, що цей ряд також є розбіжним, з ним значно простіше працювати. Існує кілька класичних способів присвоїти скінченне значення цьому ряду, відомих ще з XVIII століття^[8].

Для того, щоб звести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … до виду 1 − 2 + 3 − 4 + …, ми можемо відняти 4 від другого члена, 8 від четвертого члена, 12 від шостого і т. д. Загальна величина, яку потрібно відняти, виражається рядом 4 + 8 + 12 + 16 + …, який виходить множенням початкового ряду 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4. Ці вирази можна записати в алгебричній формі. Що б себою не являла «сума», введемо для неї позначення $c$ = 1 + 2 + 3 + 4 + … помножимо отримане рівняння на 4 і віднімемо друге від першого:

{\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots ,\\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots ,\\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots .\end{alignedat}}

Друге ключове спостереження полягає в тому, що ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … є розкладом у степеневий ряд функції 1/(1 + $x$ )² при $x$ , рівному 1. Відповідно, Рамануджан робить висновок:

-3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}.

Поділивши обидві частини на −3, отримуємо $c$ = −1/12.

Строго кажучи, існує неоднозначність при роботі з нескінченними рядами в разі використання методів, призначених для скінченних сум (на зразок методів, використаних вище), особливо якщо ці нескінченні ряди розбіжні. Неоднозначність полягає в тому, що якщо вставити нуль у будь-яке місце в розбіжному ряді, існує ймовірність отримати суперечливий результат. Наприклад, дія 4 $c$ = 0 + 4 + 0 + 8 + … суперечить властивостям додавання.

Одним із способів обійти цю невизначеність і тим самим обмежити позиції, куди можна вставити нуль, є присвоєння кожному члену ряду значення деякої функції.^[9] Для ряду 1 + 2 + 3 + 4 + …, кожен член $n$ є натуральним числом, яке можна подати у вигляді функції $n - s$ , де $s$ — деяка комплексна змінна. Використовуючи таке подання, можна гарантувати, що всі члени ряду послідовні. Таким чином, присвоївши $s$ значення −1, можна виразити розглянутий ряд у строгому вигляді. Реалізація цього способу має назву регуляризації дзета-функцією.

Регуляризація дзета-функцією

У цьому методі, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }n$ замінюють рядом $\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$ . Останній ряд є окремим випадком ряду Діріхле. Якщо дійсна частина s більша від 1, ряд Діріхле збіжний, і його сума являє собою дзета-функцію Рімана ζ(s). З іншого боку, якщо дійсна частина s менша або дорівнює 1, ряд Діріхле розбіжний. Зокрема, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ..., який виходить підстановкою s = −1, не є збіжним. Перевагою переходу до дзета-функції Рімана є те, що, використовуючи метод аналітичного продовження, її можна визначити для s ⩽ 1. Отже, ми можемо отримати значення регуляризованої дзета-функції ζ(−1) = −1/12.

Існує кілька способів довести, що ζ(−1) = −1/12. Один із методів^[10] використовує зв'язок між дзета-функцією Рімана і ета-функцією Діріхле^[en] η(s). Ета-функція виражається знакозмінним рядом Діріхле, узгоджуючись тим самим із раніше наведеними евристичними передумовами. Тоді як обидва ряди Діріхле збіжні, такі тотожності істинні:

{\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots ,&\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots ,&\\(1-2^{1-s})\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}

Тотожність $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ залишається справедливою якщо ми продовжимо обидві функції аналітично в область значень s, де записані вище ряди розбіжні. Підставляючи s = −1, одержимо −3ζ(−1) = η(−1). Відзначимо, що обчислення η(−1) є простішою задачею, оскільки значення ета-функції виражається значенням суми Абеля відповідного ряду^[11] і являє собою односторонню границю:

-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\nearrow 1}(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots )=\lim _{x\nearrow 1}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.

Поділивши обидві частини виразу на −3, отримуємо ζ(−1) = −1/12.

Підсумовування методом Рамануджана

Підсумовування ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ... методом Рамануджана також дозволяє отримати значення −1/12. У своєму другому листі до Ґ. Г. Гарді, датованому 27 лютого 1913, Рамануджан писав^[12]:

Шановний Сер, я з великим задоволенням прочитав вашого листа від 8 лютого 1913 року. Я очікував, що ви відповісте мені в тому ж стилі, що й професор математики з Лондона, який порадив мені уважно вивчити «Нескінченні ряди» Томаса Бромвіча і не потрапляти в пастку, яку приховують розбіжні ряди. … Я відповів йому, що, згідно з моєю теорією, сума нескінченного числа членів ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12. Дізнавшись це, ви зразу ж вкажете в напрямку психіатричної лікарні. Запевняю, ви не зможете простежити нитку міркувань у моєму доведенні цього факту, якщо я спробую викласти їх у єдиному листі.

Метод підсумовування Рамануджана полягає в ізолюванні сталого члена у формулі Ейлера — Маклорена для часткових сум ряду. Для деякої функції f класична сума Рамануджана для ряду $\sum _{k=0}^{\infty }f(k)$ визначена як

c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),

де f^(2k−1) являє собою (2k-1)-шу похідну функції f і B_2k є 2k-м числом Бернуллі: B₂ = 1/6, B₄ = −1/30 і т. д. Приймаючи f(x) = x, перша похідна f дорівнює 1, а всі інші члени прямують до нуля, тому:^[13]

c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.

Для уникнення суперечностей сучасна теорія методу підсумовування Рамануджана вимагає, щоб функція f була «регулярною» в тому сенсі, що її похідні вищих порядків спадають досить швидко для того, щоб решта членів у формулі Ейлера — Маклорена прямували до 0. Рамануджан неявно мав на увазі цю властивість.^[13] Вимога регулярності допомагає уникнути використання методу підсумовування Рамануджана для рядів типу 0 + 2 + 0 + 4 + … тому, що не існує регулярної функції, яка виражалася б значеннями такого ряду. Такий ряд слід інтерпретувати з використанням регуляризації дзета-функцією.

Неспроможність стійких лінійних методів підсумовування

Лінійний і стійкий метод підсумовування не в змозі присвоїти скінченне значення ряду 1 + 2 + 3 + … («Стійкий» означає, що додавання члена в початок ряду збільшує суму ряду на величину цього члена.) Це твердження можна продемонструвати так. Якщо

1 + 2 + 3 + … = x,

тоді, додаючи 0 до обох частин, отримуємо

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x,

виходячи зі властивості стійкості. Віднімаючи нижній ряд від верхнього, отримуємо

1 + 1 + 1 + … = x − x = 0,

виходячи зі властивості лінійності. Додаючи 0 до обох частин повторно, отримуємо

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

і, віднімаючи два останніх ряди, приходимо до

1 + 0 + 0 + … = 0,

що суперечить властивості стійкості.

Методи, використані вище, для підсумовування 1 + 2 + 3 + … є або тільки стійкими, або тільки лінійними. Наприклад, існує два різних методи, які називають регуляризацією дзета-функцією. Перший є стійким, але нелінійним і визначає суму a + b + c + … множини чисел як значення аналітичного продовження виразу 1/a^s + 1/b^s + 1/c^s + при s = −1. Другий метод лінійний, але нестійкий і визначає суму послідовності чисел як значення аналітичного продовження виразу a/1^s + b/2^s + c/3^s при s = 0. Обидва методи присвоюють ряду 1 + 2 + 3 + … значення суми ζ (−1) = −1/12.

Застосування у фізиці

Значення −1/12 зустрічається в теорії бозонних струн за спроби розрахувати можливі енергетичні рівні струни, а саме нижчий енергетичний рівень^[1].

Регуляризація ряду 1 + 2 + 3 + 4 + … також зустрічається під час розрахунку ефекту Казимира для скалярного поля в одновимірному просторі^[14]. Схожі обчислення виникають для тривимірного простору, проте в цьому випадку замість дзета-функції Рімана використовують реальні^{[уточнити]} аналітичні ряди Ейзенштейна^[15].

Примітки

↑ ^а ^б Polchinski, Joseph. String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String. — Cambridge University Press, 1998. — С. 22. — ISBN 0-521-63303-6.
↑ Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra (ред.), Vertex operator algebras and the zeta function, Contemporary Mathematics, т. 248, с. 327—340, arXiv:math/9909178
↑ Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken та ін. (ред.), The bridge between the continuous and the discrete via original sources, National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden, с. 3
↑ Hardy p. 10.
↑ Ramanujan's Notebooks, архів оригіналу за 18 березня 2014, процитовано 26 січня 2014
↑ Abdi, Wazir Hasan (1992), Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, с. 41
↑ Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 135—136
↑ Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. Архів оригіналу за 11 вересня 2015. Процитовано 22 березня 2007. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques // Memoires de l'academie des sciences de Berlin : magazine. — 1768. — Vol. 17 (13 novembre). — P. 83—106.
↑ Присвоєння номерів функціям ідентифікується як один із двох широких класів методів сумування, включно зі сумуванням Абеля і сумуванням Бореля: Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite Series. — Dover, 1990. — С. 475—476. — ISBN 0-486-66165-2.
↑ Stopple, Jeffrey (2003), A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann, с. 202, ISBN 0-521-81309-3
↑ Knopp, Konrad^[en]. Theory and Application of Infinite Series. — Dover, 1990. — С. 490—492. — ISBN 0-486-66165-2.
↑ Berndt et al. p. 53 [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.].
↑ ^а ^б Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 13, 134.
↑ Zee, p. 65–67.
↑ Zeidler, Eberhard (2007), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, с. 305—306, ISBN 9783540347644, архів оригіналу за 5 березня 2022, процитовано 5 березня 2022.

Література

Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. — American Mathematical Society, 1995. — ISBN 0-8218-0287-9.
Hardy, G. H. Divergent Series. — Oxford University Press, 1949.
Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. — Princeton UP, 2003. — ISBN 0-691-01019-6.

Посилання

This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124) [Архівовано 21 січня 2013 у Wayback Machine.], (Week 126) [Архівовано 21 січня 2013 у Wayback Machine.], (Week 147) [Архівовано 14 листопада 2012 у Wayback Machine.], (Week 213) [Архівовано 13 березня 2022 у Wayback Machine.]
- Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 [Архівовано 13 жовтня 2017 у Wayback Machine.] — By John Baez
- John Baez (19 вересня 2008). My Favorite Numbers: 24 (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 12 травня 2013. Процитовано 5 березня 2022.
The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation [Архівовано 6 червня 2017 у Wayback Machine.] by Terence Tao
A recursive evaluation of zeta of negative integers [Архівовано 12 березня 2016 у Wayback Machine.] by Luboš Motl^[en]
ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = −1/12 [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.] Відео Numberphile з більш ніж 1 млн переглядів
- Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.] — включає демонстрацію методу Ейлера.
- What do we get if we sum all the natural numbers? [Архівовано 12 вересня 2021 у Wayback Machine.] — відповідь Tony Padilla на коментарі до відео
- Пов'язана стаття в New York Times [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.]
Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 [Архівовано 6 листопада 2021 у Wayback Machine.] Brydon Cais з університету Аризони

[String_Theory_Vol._I:_An_Introduction_to_the_Bosonic_String-1] а ^б Polchinski, Joseph. String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String. — Cambridge University Press, 1998. — С. 22. — ISBN 0-521-63303-6.

[2] Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra (ред.), Vertex operator algebras and the zeta function, Contemporary Mathematics, т. 248, с. 327—340, arXiv:math/9909178

[3] Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken та ін. (ред.), The bridge between the continuous and the discrete via original sources, National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden, с. 3

[4] Hardy p. 10.

[5] Ramanujan's Notebooks, архів оригіналу за 18 березня 2014, процитовано 26 січня 2014

[6] Abdi, Wazir Hasan (1992), Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, с. 41

[7] Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 135—136

[8] Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. Архів оригіналу за 11 вересня 2015. Процитовано 22 березня 2007. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques // Memoires de l'academie des sciences de Berlin : magazine. — 1768. — Vol. 17 (13 novembre). — P. 83—106.

[9] Присвоєння номерів функціям ідентифікується як один із двох широких класів методів сумування, включно зі сумуванням Абеля і сумуванням Бореля: Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite Series. — Dover, 1990. — С. 475—476. — ISBN 0-486-66165-2.

[10] Stopple, Jeffrey (2003), A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann, с. 202, ISBN 0-521-81309-3

[11] Knopp, Konrad^[en]. Theory and Application of Infinite Series. — Dover, 1990. — С. 490—492. — ISBN 0-486-66165-2.

[12] Berndt et al. p. 53 [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.].

[autogenerated1-13] а ^б Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 13, 134.

[14] Zee, p. 65–67.

[15] Zeidler, Eberhard (2007), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, с. 305—306, ISBN 9783540347644, архів оригіналу за 5 березня 2022, процитовано 5 березня 2022.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Зміст

Сума в узагальненому сенсі

Часткові суми