Гомотопічна група

Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології.

Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група.

Фундаментальна група була введена Анрі Пуанкаре, вищі гомотопічні групи — Вітольдом Гуревичем. Незважаючи на простоту їх означення, обчислення конкретних груп (навіть для таких простих просторів, як багатовимірні сфери Sⁿ) часто є дуже важким завданням, причому загальні методи були отримані тільки в середині XX століття з появою спектральних послідовностей.

Означення

Нехай $X$ — топологічний простір, $x_{0}\in X$; $I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — одиничний куб, тобто $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$, і $\partial I^{n}$ — границя цього куба, тобто множина точок куба, для яких $t_{i}=0$ або 1 для деякого $i$. Множина відносних гомотопічних класів $[f]$ неперервних відображень $f\colon I^{n}\to X$, для яких $f(\partial I^{n})=x_{0}\in X$ позначається $\pi _{n}(X,x_{0})$ (причому $\partial I^{n}$ переходить в точку $x_{0}$ при всіх відображеннях і гомотопіях). Еквівалентно означення можна дати, як множину класів гомотопії відображень $f:S^{n}\to X$ із n-сфери $S^{n}$ із виділеною точкою $s_{0}$ для яких $f(s_{0})=x_{0}$ і всі гомотопії є відносними щодо $s_{0}.$

На цій множині класів гомотопії можна визначити добуток елементів:

$[f][g]=[f*g]$,

де

$f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})$, якщо $0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2}}$

$f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})$, якщо ${\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1$

Оскільки на границі куба $f=g=x_{0}$, то добуток є означеним коректно.

Еквівалентно в означенні добутку можна взяти будь-яку координату замість першої. Також еквівалентним є означення добутку на множині класів відносної гомотопії відображень $f:S^{n}\to X$ для яких $f(s_{0})=x_{0},$ яке є дане у статті H-простір для асоціативних H'-просторів із оберненими елементами, тобто $[f][g]=\nabla (f\vee g)m.$ Дійсно коло $S^{1}$є асоціативним H'-простором із оберненими елементами тому таким є і сфера $S^{2}$, оскільки редукована надбудова асоціативного H'-простору із оберненими елементами теж є таким простором, а $S^{2}$ є гомеоморфною редукованій надбудові $S^{1}.$ Далі оскільки кожна гіперсфера $S^{n}$ є гомеоморфною редукованій надбудові $S^{n-1}$ , то за індукцією всі $S^{n}$ є асоціативними H'-просторами із оберненими елементами і для них має зміст введене означення. Усі ці означення задають єдиний добуток на множині класів відносної гомотопії.

Легко перевірити, що $[f*g]$ залежить тільки від класу гомотопії $[f]$ і $[g]$. Цей добуток задовольняє всім аксіомам групи. У випадку $n=1$ одержується композиція замкнутих шляхів, отже, $\pi _{1}(X,x_{0})$ є фундаментальною групою. При n > 1 $\pi _{n}(X,x_{0})$ називаються вищими гомотопічними групами.

Окрім того часто $\pi _{0}(X,x_{0})$ позначається множина класів гомотопії відображень $f\colon S^{0}\to X$ тобто відображень із двохелементної множини у X. Множина $\pi _{0}(X,x_{0})$ є рівною множині лінійних компонент зв'язності простору X. На ній загалом не існує змістовної групової структури, тому $\pi _{0}(X,x_{0})$ не розглядається як гомотопічна група але вона має деякі спільні властивості із гомотопічними групами.

Неперервному відображенню просторів із виділеними точками $F\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ відповідає гомоморфізм $F_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,y_{0})$, причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$, а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм $(id)_{*}=id_{*}$. Якщо відображення $F$ є гомотопним $G$, то $F_{*}=G_{*}$.

Залежність від початкової точки

На відміну від гомологічних груп $H_{n}(X)$, у визначенні гомотопічних груп $\pi _{n}(X,x_{0})$ важливою є виділена точка $x_{0}$. Нехай $x_{0}$ і $x_{1}$ є двома точками, що належать одній компоненті лінійної зв'язності простору $X$ і $\gamma$ є шляхом між цими двома точками. Тоді цей шлях породжує гомоморфізми $\gamma _{\#}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{1})$із такими властивостями:

• Якщо два шляхи $\gamma$ і $\delta$ є гомотопними відносно 0 і 1, то як гомоморфізми $\gamma _{\#}=\delta _{\#}$
• Якщо позначити $i_{x_{0}}$ — тотожний шлях (тобто $i_{x_{0}}(t)=x_{0}$, $0\leqslant t\leqslant 1$) тоді $(i_{x_{0}})_{\#}$ є тотожним гомоморфізмом
• Якщо $x_{2}$ є ще однією точкою у тій же компоненті зв'язності і $\beta$ є шляхом від $x_{1}$ до $x_{2}$, а $\gamma \cdot \beta$ позначає добуток шляхів (який є шляхом від $x_{0}$ до $x_{2}$), то $(\gamma \cdot \beta )_{\#}=\beta _{\#}\circ \gamma _{\#}$
• Якщо $F\colon X\to Y$ є неперервним відображенням просторів для якого $F(x_{0})=y_{0}$, $F(x_{1})=y_{1}$ і $F_{*}$ позначає породжені гомоморфізми гомотопічних груп у відповідних виділених точках, то $F_{*}\circ \gamma _{\#}=(F\circ \gamma )_{\#}\circ F_{*}$ як гомоморфізми із $\pi _{n}(X,x_{0})$ у $\pi _{n}(Y,y_{0}).$

Зокрема, якщо $x_{0}=x_{1}$ то петлі із базовою точкою $x_{0}$ породжують автоморфізми на групах $\pi _{n}(X,x_{0})$, тобто $\pi _{1}(X,x_{0})$ є групою автоморфізмів для всіх гомотопічних груп. Важливими є випадки коли всі такі автоморфізми для $\pi _{n}(X,x_{0})$ є тотожними. Іноді простір для якого це виконується для всіх точок називається $n$-простим. У такому просторі всі групи $\pi _{n}(X,x_{0})$ незалежно від виділеної точки є ізоморфними. Для лінійно зв'язаного простору умову достатньо перевірити лише для однієї виділеної точки. Окрім того для лінійно зв'язаного $n$-простого простору елементи групи $\pi _{n}(X,x_{0})$ є у бієктивній відповідності із класами гомотопії (не відносно виділених точок) відображень $f\colon S^{n}\to X$.

Прикладами лінійно зв'язаних просторів, що є $n$-простими є однозв'язні простори і лінійно зв'язані H-простори (не обов'язково асоціативні чи з оберненими елементами). Відповідно для таких просторів всі гомотопічні групи для різних виділених точок є ізоморфними.

Властивості

• Тоді як фундаментальна група $\pi _{1}(X,x_{0})$ в загальному випадку є неабелевою, для всіх $n>1$ групи $\pi _{n}(X,x_{0})$ є абелевими, тобто $[f][g]=[g][f]$.
• Якщо $p\colon ({\tilde {X}},{\tilde {x}}_{0})\to (X,x_{0})$ є проєкцією із накриття простору, то породжений гомоморфізм гомотопічних груп $p_{*}\colon \pi _{n}({\tilde {X}},{\tilde {x}}_{0})\to \pi _{(}X,x_{0})$ є ізоморфізмом для всіх $n\geqslant 2.$
• Для $n\geqslant 1$ для тензорних добутків виконується рівність $\pi _{n}(X\times Y)\cong \pi _{n}(X)\oplus \pi _{n}(Y).$
• Для $n\geqslant 2$ для букету просторів виконується рівність $\pi _{n}(X\wedge Y)\cong \pi _{n}(X)\oplus \pi _{n}(Y)\oplus \pi _{n+1}(X\times Y,X\wedge Y),$ де в останньому добутку є відносна гомотопічна група.
• Теорема Гуревича: Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа $n$ існує гомоморфізм груп $h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),$ який для $n\geqslant 2$ у випадку, якщо $\pi _{i}(X)\cong 0,\quad 1\leq i\leq n-1$ є ізоморфізмом.

Приклади

• Для $0<k<n$ гомотопічні групи $\pi _{k}(S^{n})=0$, для $k=n$ натомість $\pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} .$ Для гомотопічних груп із $k>n$ усі $\pi _{k}(S^{n})$ є скінченними групами за винятком груп виду $\pi _{4k-1}(S^{2k})$ які є прямими сумами $\mathbb {Z}$ і скінченних груп. Також для кожного числа $k$ існує $n_{0}$ таке, що для всіх $n\geqslant n_{0}$ групи $\pi _{n+k}(S^{n})$ є ізоморфними.
• Для просторів X, які мають стягуване універсальне накриття $\pi _{n}(X)=0$ для $n\geqslant 2.$ Наприклад для тора $T^{n}$ (добутку n кіл) універсальним накриттям є $\mathbb {R} ^{n},$ тож $\pi _{n}(T^{n})=0$ для $n\geqslant 2.$ Натомість фундаментальна група є вільною абелевою групою рангу $n$.

Відносні гомотопічні групи

Означення

Відносні гомотопічні групи визначаються для простору $X$, його підпростору $A\subset X$ і виділеної точки $x_{0}\in A$. Нехай $I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — одиничний куб ($I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$), $\partial I^{n}$ — границя цього куба, a $I^{n-1}\subset \partial I^{n}$ — грань куба, яка визначається рівнянням $t_{n}=0$. Множина гомотопічних класів $[f]$ неперервних відображень $f\colon I^{n}\to X$, для яких $f\colon I^{n-1}\to A$ і на інших гранях $f\colon \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})\to x_{0}$ позначається $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ (зокрема $I^{n-1}$ переходить в $A$, а $\partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})$ в точку $x_{0}$ при всіх відображеннях і гомотопіях).

При $n\geqslant 2$ ця множина утворює групу — відносну гомотопічну групу порядку $n$. Добуток, як і вище, задається як

$[f][g]=[f*g]$,

де

$f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})$, якщо $0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2}}$

$f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})$, якщо ${\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1$.

При усіх гомотопіях у цих означеннях, як і вище $I^{n-1}$ переходить в $A$, а $\partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})$ в точку $x_{0}$. Еквівалентно можна дати означення із використанням усіх координат окрім $t_{n}.$

Властивості

Можна дати еквівалентне означення відносних гомотопічних груп розглянувши відображення вкладення $i\colon A\to X$ і його простір шляхів відображення $L_{i}.$ Цей простір є підпростором добутку $A\times LB,$ де $a\times \lambda \in L_{i}$ якщо $\lambda (0)=a$. Тут $LB$ позначає простір шляхів простору $X$, тобто його елементами є неперервні відображення $\lambda \colon I\to B$ для яких $\lambda (1)=x_{0}$ (подібно до простору петель) із компактно-відкритою топологією. Виділеною точкою у $L_{i}$ є $x_{0}\times \lambda _{0}$, де $\lambda _{0}$ є тотожним відображенням із значенням $x_{0}$. Тоді $\pi _{n}(X,A,x_{0})=\pi _{n-1}(L_{i},(x_{0},\lambda _{0}))$ тобто відносна гомотопічна група є ізоморфною звичайній гомотопічній групі відповідного простору шляхів відображення із порядком на одиницю меншим. Також можна розглянути множину $\pi _{1}(X,A,x_{0})=\pi _{0}(L_{i},(x_{0},\lambda _{0})),$ яка загалом не буде групою.

Неперервному відображенню пар просторів із виділеними точками $F\colon (X,A,x_{0})\to (Y,B,y_{0})$ відповідає гомоморфізм $F_{*}\colon \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(Y,B,y_{0})$, причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$, а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм $(id)_{*}=id_{*}$. Якщо відображення $F$ є гомотопним до $G$, як відображення пар із виділеними точками, то $F_{*}=G_{*}$.

Якщо $n\geqslant 3$ то $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ є абелевою групою.

Точна гомотопічна послідовність

Вкладення $i\colon (A,x_{0})\to (X,x_{0})$ індукує гомоморфізм $i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{0})$, а вкладення $j\colon (X,x_{0})\to (X,A,x_{0})$ (тут $(X,x_{0})$ слід розуміти як $(X,x_{0},x_{0})$), індукує гомоморфізм $j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,A,x_{0})$. Будь-який елемент $[f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})$ визначається відображенням $f$, яке, зокрема, переводить $I^{n-1}$ в $A$, причому на $\partial I^{n-1}$ f тотожно дорівнює $x_{0}$, визначаючи елемент з $\pi _{n-1}(A,x_{0})$. Таким чином ми отримуємо відображення $\partial \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{n-1}(A,x_{0})$, яке є гомоморфізмом. Ми маємо таку послідовність груп і гомоморфізмів:

$\dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots$

Ця послідовність є точною, тобто образ будь-якого гомоморфізму збігається з ядром наступного гомоморфізму. Звідси в разі, коли $\pi _{n}(X,x_{0})=0$ для всіх $n\geqslant 1$, граничний гомоморфізм $\partial \colon \pi _{n+1}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})$ буде ізоморфізмом.

Див. також

• Гомотопія
• Теорема Гуревича
• Фундаментальна група

Література

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, архів оригіналу за 20 лютого 2012, процитовано 11 вересня 2020. Section 3.C
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 61, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90336-1