Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.
Розглянемо порівняно просте рівняння з частинними похідними:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3074840939f2c1d4f012f32225f5c54a3c51f44)
З цього співвідношення випливає, що значення функції u(x,y) не залежить від x. Отже, загальний розв'язок рівняння є наступним:
![{\displaystyle u(x,y)=f(y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03eeb45ded48dceb6f8becebc59fd24d405fb57)
де f — довільна функція змінної y. Аналогічне звичайне диференціальне рівняння має вигляд:
![{\displaystyle {\frac {df(y)}{dx}}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f699b916aaa43ea2d1c8a67987aeb25275970864)
і його розв'язок
![{\displaystyle u(x,y)=c,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5da6f7cbcfad8dc65078ae11bb7333011674656)
де c — довільна константа (незалежна від x). Ці два приклади показують, що загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння містить довільні константи, а загальний розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними містить довільні функції.
Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду
де F — задана дійсна функція точки
області D евклідового простору
і дійсних змінних
(u(x) - невідома функція) з невід'ємними цілочисловими індексами
і принаймні одна з похідних функції F по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; натуральне число m називається порядком рівняння.
Визначена у області D задання рівнянням функція u(x), неперервна разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або многовидів особливого вигляду: до них належать зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.
У випадку неперервності часткових похідних F відносно змінних
(тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку m:
Дана форма називається характеристичною формою, що відповідає рівнянню з частинними похідними.
Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних, тобто функція F з означення лінійна відносно аргументів
Лінійне рівняння 2-го порядку має вигляд:
де
— задані в області D дійсні функції точки x.
Для лінійного рівняння 2-го порядку характеристична форма є квадратичною:
![{\displaystyle Q(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})=\sum \limits _{i=1}^{m}A_{ij}\lambda _{i}\lambda _{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16cc99c2985124db7307f524fdcc628fa29751f)
У кожній точці
квадратична форма Q за допомогою невиродженого афінного перетворення змінних
, може бути приведена до канонічного виду
![{\displaystyle Q=\sum \limits _{i=1}^{m}\mathrm {A} _{i}\sigma _{i}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6787fcefa22c248487d45ca1cd233ebdfa7fd0)
де коефіцієнти
приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.
Коли всі
або всі
тобто коли форма Q відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці
. Якщо один з коефіцієнтів
від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці х. У випадку коли
коефіцієнтів
— додатні, а решта n - l від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці х. Кажуть, що у області визначення D рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області D рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують дійсні числа
і k_1 однакового знаку такі, що
![{\displaystyle k_{0}\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}\leqslant Q(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})\leqslant k_{1}\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f1d64544c06b9d8299b866cd60f7d475c91139)
для всіх
.
Коли в різних частинах області D рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області.
У випадку лінійного рівняння від двох змінних тип рівняння в точці визначити досить просто.
Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох змінних має вигляд:
![{\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3345997394a82160ddf676992d7b67471e2f1d1f)
де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а крапки позначають члени, залежні від x, y, u і часткових похідних першого порядку:
і
. Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:
![{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276f9f21d407268719142c0ba673232f6b055115)
Так само, як конічні перетини розділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знаку дискримінанта
, класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:
— Гіперболічне рівняння
— Еліптичне рівняння
— Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не рівні одночасно нулю).
У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C — сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C неперервно залежать від x і y, множини точок, в яких дане рівняння є гіперболічного (еліптичного) типу, утворює на площині відкриту область, що називається гіперболічною (еліптичною), а множина точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є замкнутою. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.
Хоча відповідь на питання про існування і єдиність розв'язку звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара — Лінделефа), для рівняння з частинними похідними однозначної відповіді на це питання немає.
Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевськоі), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння з частинними похідними, аналітичного щодо невідомих функцій і їх похідних має єдиний аналітичний розв'язок. Проте, існують приклади лінійних рівнянь з частинними похідними, що не мають розв'язку, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків. Навіть якщо розв'язок існує і є єдиним, він може мати небажані властивості.
Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від n) для рівняння Лапласа:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68132b97f81f30b0aa2a69903f1292c72412d4f1)
з початковими умовами:
![{\displaystyle u(x,0)=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01a9b7f7af2118a7b2cf13fa92185e10fd3bddb)
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dadc4634da14dccc66d5d57e70b277ff4179d27)
де n — ціле число. Похідна від функції u по змінній y рівномірно прямує до 0 по x при зростанні n, проте розв'язком рівняння є
![{\displaystyle u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e5bb94272ff28b293580ae8b6000cefc646f36)
Розв'язок прямує до нескінченності, якщо nx не кратно
для будь-якого ненульового значення y. задача Коші для рівняння Лапласа називається некоректною, оскільки немає неперервної залежності розв'язку від початкових даних.
Рівняння, що описує розповсюдження тепла в однорідному стрижні має вигляд
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498cacf92e4adb8d2d1ee128d47117693295a7af)
де u(t,x) - температура, і
— додатна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Задача Коші ставиться таким чином:
,
де f(x) — довільна функція.
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aca511d39d42ad87f2bfdb2a65103bed43ead4)
Тут u(t,x) - зсув струни з положення рівноваги, або надмірний тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c — швидкість розповсюдження хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:
![{\displaystyle u(0,x)=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111b2e5d61a0b85e8d479d443b15523bb1e26852)
![{\displaystyle u_{t}(0,x)=g(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3ffeefd1d94678510fa09d02a2ab1a5ea66fa5)
Рівняння Лапласа для невідомої функції двох змінних має вигляд:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a55467a93189024042e47531367c97fa40e749b)
Його розв'язки називаються гармонічними функціями.
Дійсна і уявна частини будь-якої голоморфної функції
комплексної змінної
є спряжено гармонічними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх градієнти ортогональні. Якщо f=u+iv, то умови Коші — Рімана стверджують наступне:
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10443a524b5eb8aa52824fc607e50fbca2e1aabf)
Додаючи і віднімаючи рівняння один з одного, одержуємо:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2f871811953465c4824566a0e0c02603fc69d5)
Також можна показати, що будь-яка гармонічна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.
Граничні умови ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області
— деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі краєві задачі:
— задача Діріхле
— задача Неймана.
Рівняння Гінзбурга — Ландау використовуються для моделювання надпровідності. Рівняння має вигляд
Існує два види методів розв'язування даного типа рівнянь:
- аналітичні, при яких результат виводиться різними математичними перетвореннями;
- чисельні, при яких одержаний результат відповідає дійсному із заданою точністю.
Розглянемо задачу про коливання струни довжини
. Вважатимемо, що на кінцях струни функція
набуває значення нуль:
![{\displaystyle u(x,t){\big |}_{x=0}=u(x,t){\big |}_{x=L}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554e04c2cd9f707c72cfc8280d4623ad4699b8c8)
У початковий момент часу задамо початкові умови:
![{\displaystyle u(x,t){\big |}_{t=0}=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c137f0653b74155096c2af8995dd5f2556e3c02c)
![{\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |}_{t=0}=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcbaa2a82e517398d80df3056e38b90ca87d6e6)
Представимо розв'язок у вигляді:
![{\displaystyle u(x,t)\,=X(x)T(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3134f12909dfbf68ee372f9c080194a75448c0a9)
Після підстановки в початкове рівняння коливань, розділимо на добуток
одержуємо:
![{\displaystyle {\dfrac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\dfrac {X''(x)}{X(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391da455d00a7f3ad2390a7def0f3961fed2dac9)
Права частина цього рівняння залежить від
, ліва — від
, отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні сталій величині, яку позначимо через
:
![{\displaystyle {\dfrac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\dfrac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3cd2ffe660f5bf6fa24e31e51df4ff5a57b451)
Звідси знаходимо рівняння для
:
Нетривіальні розв'язки цього рівняння за однорідних краєвих умов можливі тільки при
і мають вигляд:
Розглянемо рівняння для знаходження
:
![{\displaystyle T''(t)+a^{2}\lambda _{n}^{2}T(t)\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8a565ea1fb5fa1deb350f9afaf23f14a4db43b)
Його розв'язок:
![{\displaystyle T(t)\,=A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce7089cfd64e027d87341deb1d5a0e23178ac2e)
Отже, кожна функція вигляду
![{\displaystyle u(x,t)\,=\left[A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50bf723b7de8d96f46971bec9bbd658fb9b7353)
є рішенням хвильового рівняння.
Щоб задовольнити початкові умови, утворимо ряд:
![{\displaystyle u(x,t)\,=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fa6a0fc552cb729997c7d562fe223ddeba4f30)
Підстановка в початкові умови дає:
![{\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }A_{n}sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)=f(x),\quad \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {a\pi n}{L}}B_{n}sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ef9da2fb3e446a0723eba2cd5544e4983f4db8)
Останні формули є розкладом функцій
і
у ряд Фур'є на відрізку
. Коефіцієнти розкладу обчислюються за формулами:
![{\displaystyle A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{0}^{L}f(x)sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{0}^{L}g(x)sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b82a3ab7e786e9f60c5e9a0f5ffe4f2b7bdc888)
Цей спосіб рішення називається методом скінченних різниць.
Цей метод заснований на визначенні похідної функції
:
![{\displaystyle ~y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y \over \Delta x}=\lim _{\Delta x\to 0}{{f(x+\Delta x)}-f(x) \over \Delta x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa650255e4a626a1ba4782e55cc630fdf2452b12)
Якщо є функція
, то часткова похідна буде наступна:
![{\displaystyle ~u_{x}'={\partial u \over \partial x}=\lim _{\Delta x\to 0}{{u(x+\Delta x,t)-u(x,t)} \over \Delta x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30262638954f5bf962528318290d9442ff018be6)
Оскільки
ми використовуємо достатньо малий, знаки меж можна відкинути. Тоді одержимо такі вирази:
![{\displaystyle ~u_{x}'\approx {{u(x+\Delta x,t)-u(x,t)} \over \Delta x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7aa1a23c009a9be5108b3abdae971c1668d9e8)
![{\displaystyle ~u_{t}'\approx {{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)} \over \Delta t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af88b59020744f3d60fb597973f56b7f8a4f060a)
![{\displaystyle u(x,t)=u_{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b36b66cba5b5f8d20a6df18cb0f54c244298ef)
![{\displaystyle u(x+\Delta x,t)=u_{i+1}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9706057b4eb1677a118705cf49f766b06f9554)
![{\displaystyle u(x,t+\Delta t)=u_{i}^{j+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cb166cd02542203f6bb25df47023310b14b391)
,
![{\displaystyle \Delta t=\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1c5f78619387c4c99846aa31f9cc0439a664f7)
Тоді попередні вирази можна записати так:
,
Ці вирази називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому:
,
- це ліві диференціали.
Підсумувавши обидва вирази одержимо наступне:
![{\displaystyle 2u_{x}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i-1}^{j}+u_{i+1}^{j}-u_{i}^{j}} \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e8a3ec0bb321139331d4f9bd0e9995001d5ce5)
![{\displaystyle 2u_{t}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}+u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j}} \over \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e138fd945af755c193a44fe321dd8d1b4157831)
з яких одержується:
![{\displaystyle u_{x}'\approx {{u_{i+1}^{j}-u_{i-1}^{j}} \over 2h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8afbbd67f99dd7f24a6112d5eb996abb1b3fc1)
![{\displaystyle u_{t}'\approx {{u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j-1}} \over 2\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4faf8b97802237d9ea5dec92012ac3a23c52ac)
Аналогічно можна одержати і диференціали другого порядку:
![{\displaystyle u_{xx}^{''}={{\partial ^{2}u} \over {\partial x^{2}}}\approx {{u_{i-1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i+1}^{j}} \over h^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56730567d78ac66febdf3657e9c22bec7720e979)
![{\displaystyle u_{tt}^{''}={{\partial ^{2}u} \over {\partial t^{2}}}\approx {{u_{i}^{j-1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j+1}} \over \tau ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf32d3c4714f5de7f2c607a1b159f8a47d17b5d0)
Рівняння коливань струни записується в такій формі:
.
Додаткові умови задаються у вигляді:
,
,
,
,
- де
і
— позиції кінців (кріплень) струни в часі
- а
і
— початковий стан і швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою
.
У обчисленнях використовують дискретизацію струни (розділяють її на однакові інтервали, довжина яких
.
Значення функції для інших
і
можна обчислити з рівняння коливань струни:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3eb541ec7a70b8aa9e3b17c8b77ae3aaa3decf3)
![{\displaystyle {{\partial ^{2}u} \over {\partial t^{2}}}={{u_{i}^{j+1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j-1}} \over \tau ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fe429edea1c3276d3e12c618ec75c6ac6479b3)
![{\displaystyle {{\partial ^{2}u} \over {\partial x^{2}}}={{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}} \over h^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76dab443ebb8d22244987dab1bd5adcbe705d2ca)
![{\displaystyle {{u_{i}^{j+1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j-1}} \over \tau ^{2}}=a^{2}{{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}} \over h^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ef3393f6bab15ebf48dea5f59fd4056fd7b95b)
![{\displaystyle u_{i}^{j+1}={\tau ^{2}a^{2} \over h^{2}}\left(u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0be73fcaafe0447b2e443b83a3fc6b6c78479c9)
Таким чином, ми одержали схему, за якою можна знайти значення функції для будь-яких
і
, використовуючи значення функції при попередніх
і
.
Цей метод дає наближену відповідь, ступінь точності
. Для достатньо точних результатів необхідно використовувати інтервали
і
.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.
- Гончаренко В. М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. — К., 1996
- Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
- Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:Высш. шк., 1977. — 432 с.
- Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2002. — 336 с.
- Рівняння математичної фізики (практикум) : навч. посіб. / О. І. Бобик, І. О. Бобик, В. В. Литвин ; за наук. ред. В. В. Пасічника ; М-во освіти і науки України. – Л. : Новий Світ-2000, 2010. – 253 с. – (Комп'ютинг). – Бібліогр.: с. 252 (10 назв). – ISBN 978-966-418-122-5
- Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
- Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
- John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
- Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 .
- Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3 .