Інтеграл Лебега

У математичному аналізі інтеграл Лебега — Стілтьєса узагальнює поняття інтеграла Рімана — Стілтьєса і інтеграла Лебега на дійсній прямій. Він є звичайним інтегралом Лебега щодо так званої міри Лебега — Стілтьєса, асоційованої із якоюсь функцією обмеженої варіації на дійсній прямій. Міра Лебега — Стілтьєса є регулярною мірою Бореля і кожна регулярна міра Бореля, що є обмеженою для обмежених множин на дійсній прямій є мірою Лебега — Стілтьєса для деякої неспадної функції.

Іноді також використовуються терміни інтеграл Лебега — Радона або просто інтеграл Радона. Названий на честь Анрі Лебега, Томаса Стілтьєса і Йогана Радона. Інтеграл Лебега — Стілтьєса широко застосовується у теорії ймовірностей, зокрема теорії стохастичних процесів і в деяких розділах математичного аналізу, наприклад теорії потенціалу.

Означення

Міра Лебега — Стілтьєса

Нехай $g$ є монотонно неспадною і неперервною справа функцією на інтервалі $[a, b]$ . Множина інтервалів $(s, t]$ , де $a \leq s < t \leq b$ разом із одноточковою множиною ${a}$ і порожньою множиною утворює напівкільце множин. Нехай за означенням $w ((s, t]) = g (t) - g (s)$ і $w ({a}) = 0$ . Подібно можна розглядати випадок коли $g$ є неперервною зліва, $w ([s, t)) = g (t) - g (s)$ і $w ({b}) = 0$ .

Функція $w$ є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці. Справді функція є невід'ємною і адитивною. Нехай $(s_{n},\ t_{n}],\quad n\geqslant 1$ є послідовністю інтервалів перетин кожної пари яких є порожньою множиною і $\bigsqcup _{n=1}^{\infty }(s_{n},t_{n}]=(s,t].$ Із означення напівкільця для кожного $N\geqslant 1$ для різниці множин виконується рівність $(s,t]\setminus \bigsqcup _{n=1}^{N}(s_{n},t_{n}]=\bigsqcup _{n=1}^{m}S_{n},$ де всі $S_{n}$ теж є напіввідкритими інтервалами із $[a, b]$ . Із адитивності $w$ тоді: $w((s,t])=\sum _{n=1}^{N}w((s_{n},t_{n}])+\sum _{n=1}^{m}w(S_{n})\geqslant \sum _{n=1}^{N}w((s_{n},t_{n}]).$ Після граничного переходу також $w((s,t])\geqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},t_{n}]).$

Навпаки із неперервності справа функції $g$ випливає, що для довільного $\varepsilon >0$ існує таке $s'\in (s,\ t),$ що $g(s')-g(s)<\varepsilon$ і тому $w((s,\ t])-w((s',\ t])=g(s')-g(s)<\varepsilon .$

Якщо $t_{n}=b$ для деякого $n\geqslant 1$ то позначимо $t'_{n}=b$ для кожного $n\geqslant 1$ , для інших інтервалів із неперервності справа функції $g$ як і вище випливає для кожного $n\geqslant 1$ існування такого $t'_{n}\in (t_{n},\ b)$ , що $g(t')-g(t)<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}$ і тому також $w((s_{n},\ t'_{n}])-w((s_{n},\ t_{n}])=g(t')-g(t)<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}.$

Множина $[s',\ t]$ є компактною підмножиною $(s,\ t]$ , відповідно вона покривається множинами виду $(s_{n},\ t'_{n})$ (і додатково можливо деякою множиною $(s_{i},\ b]$ якщо $t'_{i}=b$ ; ця множина теж є відкритою у топології на $[a, b]$ ), а тому і скінченною кількістю таких множин. Звідси зокрема для деякого $N\geqslant 1$ :

w((s',\ t])\leqslant \sum _{n=1}^{N}w((s_{n},\ t'_{n}])\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t'_{n}]).

Із попередніх нерівностей також $w((s,\ t])<w((s',\ t])+\varepsilon$ і $w((s_{n},\ t'_{n}])<w((s_{n},\ t_{n}])+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}$ тому

w((s,\ t])<w((s',\ t])+\varepsilon <\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}+\varepsilon <\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])+2\varepsilon .

Оскільки $\varepsilon >0$ є довільним, то $w((s,\ t])\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])$ і враховуючи доведену вище протилежну нерівність остаточно $w((s,\ t])=\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}]).$

Оскільки $w$ є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці то згідно теореми Каратеодорі про продовження, існує єдина міра $μ g$ на борелівських підмножинах інтервалу $[a, b]$ , яка узгоджується із $w$ на кожному інтервалі $I$ . Міра $μ g$ одержується із зовнішньої міри заданої як

\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}

де інфімум береться по всіх покриттях множини $E$ зліченною кількістю напіввідкритих інтервалів. Обмеження цієї зовнішньої міри на σ-алгебру вимірних множин, яка включає борелівську σ-алгебру є локально скінченною і σ-скінченною мірою. Ця міра називається мірою Лебега — Стілтьєса для функції $g$ .

Інтеграл Лебега — Стілтьєса

Нехай спершу $f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ є вимірною за Борелем і обмеженою, а $g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R}$ є монотонною і неперервною справа. Якщо $g$ є неспадною то Інтеграл Лебега — Стілтьєса

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

за означенням є інтегралом Лебега функції $f$ щодо визначеної вище міри Лебега — Стілтьєса $μ g$ .

Якщо $g$ є незростаючою, тоді за означенням

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),

де останній інтеграл визначений як вище.

Якщо функція $g$ має обмежену варіацію і $f$ є обмеженою, тоді можна записати

dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)

де $g 1 (x) = V x a g$ є повною варіацією функції $g$ на інтервалі $[a, x]$ , а $g 2 (x) = g 1 (x) - g (x)$ . Функції $g 1$ і $g 2$ є монотонно неспадними. У цьому випадку інтеграл Лебега — Стілтьєса щодо $g$ за означенням є рівним:

\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),

де останні два інтеграли визначені, як і вище.

Інтеграл Деніела

Альтернативно (Hewitt та Stromberg, 1965) інтеграл Лебега — Стілтьєса можна розглядати як інтеграл Даніела, що розширює звичайний інтеграл Рімана — Стілтьєса. Нехай $g$ є неспадною неперервною справа функцією на $[a, b]$ , і $I (f)$ позначає інтеграл Рімана — Стілтьєса:

I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

для всіх неперервних функцій $f$ . функціонал $I$ задає міру Радона на $[a, b]$ . Цей функціонал можна продовжити на клас всіх невід'ємних функцій за правилом:

{\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{aligned}}

Для вимірних за Борелем функцій:

{\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),

і будь який із цих функціоналів тоді визначає інтеграл Лебега — Стілтьєса функції $h$ . Зовнішня міра $μ g$ тоді визначається як

\mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})

де $χ A$ є характеристичною функцією множини $A$ .

Випадок функцій обмеженої варіації можна, як вище звести до попереднього за допомогою розкладу на додатну і від'ємну варіації.

Приклад

Нехай $γ : [a, b] \to R 2$ є спрямлюваною кривою на площині і $ρ : R 2 \to [0, \infty)$ є вимірною за Борелем. Тоді можна розглянути довжину $γ$ щодо евклідової метрики зваженої на ρ:

\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),

де $\ell (t)$ є довжиною кривої $γ$ обмеженої на $[a, t]$ . Іноді це поняття називається $ρ$ -довжиною кривої $γ$ . Дане поняття має багато застосовань: наприклад на глинистих поверхнях швидкість із якою рухається особа залежить від глибини глинистої поверхні. Якщо $ρ (z)$ позначає обернене до швидкості у точці $z$ , тоді $ρ$ -довжина $γ$ є часом необхідним щоб пройти $γ$ . Також $ρ$ -довжина використовується для поняття екстремальної довжини, що застосовується у теорії конформних відображень.

Інтегрування частинами

Функція $f$ називається "регулярною" у точці $a$ якщо у цій точці існують границі справа і зліва $f (a +)$ і $f (a -)$ і також:

f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.

Для двох функцій $U$ і $V$ , що мають обмежену варіацію, якщо у кожній точці або хоча б одна з функцій $U$ і $V$ є неперервною або $U$ і $V$ обидві є регулярними, тоді справедливою є формула інтегрування частинами для інтеграла Лебега — Стілтьєса:^[1]

\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <<b<\infty .

Тут міра Лебега — Стілтьєса є асоційованою із неперервними справа версіями функцій $U$ і $V$ ; тобто із функціями ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ і аналогічно для ${\tilde {V}}(x).$ Обмежений інтервал (a, b) можна замінити необмеженими інтервалами (-∞, b), (a, ∞) або (-∞, ∞) якщо $U$ і $V$ мають обмежену варіацію на відповідному інтервалі. Також можна розглядати комплекснозначні функції.

Згідно альтернативного результату, що має важливе значення у теорії стохастичного інтегріування для двох функцій $U$ і $V$ із обмеженою варіацією, які є неперервними справа і мають ліві границі (тобто є càdlàg-функціями):

U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},

де $Δ U t = U (t) - U (t -)$ .

Пов'язані поняття

Якщо $g (x) = x$ для всіх дійсних $x$ , тоді $μ g$ є мірою Лебега і інтеграл Лебега — Стілтьєса $f$ щодо $g$ є еквівалентним інтегралу Лебега $f$ .

Іінтеграл Рімана — Стілтьєса і теорія ймовірностей

Якщо $f$ є неперервною дійснозначною функцією дійсної змінної і $v$ є неспадною дійсною функцією, інтеграл Лебега — Стілтьєса є еквівалентним інтегралу Стілтьєса.

Інтеграл Стілтьєса найчастіше використовується у теорії ймовірностей де $v$ є функцією розподілу ймовірностей випадкової змінної $X$ . Тоді зокрема:

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].

Багатовимірний інтеграл Лебега — Стілтьєса

Найчастіше на практиці розглядають одновимірний випадок але можна також дати означення і для вимірних випадків.

Нехай функція $g (x, y)$ від двох змінних задовольняє властивості:

Якщо $x_{1}\leqslant y_{1}$ і $x_{2}\leqslant y_{2}$ тоді $g(y_{1},y_{2})-g(x_{1},y_{2})-g(y_{1},x_{2})+g(x_{1},x_{2})\geqslant 0.$
$g (x, y)$ є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Тоді для напіввідкритих прямокутників можна визначити:

\mu _{g}((x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}])=g(y_{1},y_{2})-g(x_{1},y_{2})-g(y_{1},x_{2})+g(x_{1},x_{2}).

Напіввідкриті прямокутники $(x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}]$ разом із порожньою множиною утворюють напівкільце множин і $\mu _{g}$ є σ—адитивною мірою на ньому. Відповідно аналогічно до одновимірного випадку згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі і називається двовимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Як частковий випадок, якщо $g, f$ є неспадними неперервними справа функціями однієї дійсної змінної, то можна взяти

\mu ((x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}])=(g(y_{2})-g(y_{1}))\cdot (f(x_{2})-f(x_{1})).

Цей випадок також дає зрозуміти першу умову на функції для двовимірного випадку.

Для вищих розмірностей розглядаються напіввідкриті паралелепіпеди

(x'_{1},x''_{1}]\times (x'_{2},x''_{2}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}].

Вони із порожньою множиною теж утворюю напівкільце.

Функція $g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , що визначає міру Лебега — Стілтьєса має бути неперервною справа по всіх аргументах. Додатково вона повинна задовольняти умову подібну до двовимірного випадку, яку теж найпростіше отримати із часткового випадку неспадних і неперервних справа функцій $g(x_{1}),\ldots ,g(x_{n})$ і визначення міри як

\mu _{g}((x'_{1},x''_{1}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}])=(g_{1}(x''_{1})-g_{1}(x'_{1}))\cdot \ldots \cdot (g_{n}(x''_{n})-g_{n}(x'_{n})).

Явно умови для функції $g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ можна записати так:

Якщо $x'_{i}\leqslant x''_{i}$ для всіх $i\in \{1,\ldots ,n\}$ то $\sum _{j=1}^{2^{n}}(-1)^{\lambda (j)}g(X_{j})\geqslant 0.$ У цій формулі $X_{j}$ позначає вершини паралелепіпеда $[x'_{1},x''_{1}]\times [x'_{2},x''_{2}]\times \ldots \times [x'_{n},x''_{n}]$ (загальна кількість яких є рівною $2^{n}$ ). У загальному кожна така вершина має вигляд $X_{j}=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ де кожна $y_{i}$ є рівною $x'_{i}$ або $x''_{i}$ . $\lambda (j)$ у формулі позначає кількість тих $y_{i}$ у такому записі точки $X_{j}$ для яких $y_{i}=x'_{i},$ тобто кількість тих координат які на відповідній вершині мають найменше значення на паралелепіпеді.
$g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Використовуючи позначення як і вище можна ввести міру:

\mu _{g}((x'_{1},x''_{1}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}])=\sum _{j=1}^{2^{n}}(-1)^{\lambda (j)}g(X_{j}).

$\mu _{g}$ є σ—адитивною мірою і, знову ж, згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі називається n-вимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Примітки

↑ Hewitt, Edwin (May 1960). Integration by Parts for Stieltjes Integrals. The American Mathematical Monthly. 67 (5): 419—423. doi:10.2307/2309287. JSTOR 2309287.

Див. також

Література

Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7
Brunt, B. van; Carter, M. (2000). The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. Т. 91. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1174-7. ISBN 978-0-387-95012-9.
Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
Saks, Stanislaw (1937) [[https://web.archive.org/web/20120204043115/http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10 Архівовано 4 лютого 2012 у Wayback Machine.] Theory of the Integral.]
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
S. J. Taylor (1973). Introduction to measure and integration. Cambridge University Press. ISBN 9780521098045.

[1] Hewitt, Edwin (May 1960). Integration by Parts for Stieltjes Integrals. The American Mathematical Monthly. 67 (5): 419—423. doi:10.2307/2309287. JSTOR 2309287.

[1]