Стала Хінчина

	Стала Хінчина
Названо на честь	Хінчин Олександр Яковичd
Числове значення	2,685452001 ± 1,0E−10
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
	Стала Хінчина у Вікісховищі

Стала Хінчина — дійсна константа $K_{0}\approx 2{,}685452$ , що дорівнює середньому геометричному елементів розкладу в ланцюговий дріб будь-якого з майже всіх дійсних чисел.

Сталу Хінчина назвали на честь О. Я. Хінчина^[ru], який знайшов і довів існування цієї сталої і формулу для неї 1935 року^[1]. Позначення $K_{0}$ ^[2] або $K$ ^[3] відповідає першій букві транслітерації прізвища «Хінчин» в європейських мовах.

Визначення

Для майже будь-якого дійсного числа $x$ елементи $a_{i}$ його розкладу в ланцюговий дріб мають скінченне середнє геометричне, яке не залежить від $x$ ^[4]. Ця величина і називається сталою Хінчина.

Іншими словами, якщо

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;

,

де $a_{0}$ ціле, а решта $a_{i}$ натуральні, то для майже всіх $x$ виконується

\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,}6854520010\ldots

(послідовність A002210 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

При цьому сталу Хінчина $K_{0}$ можна виразити у вигляді нескінченного добутку

K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}

.

Значимість

Розклад у ланцюговий дріб будь-якого дійсного числа — це послідовність натуральних чисел, і будь-яка послідовність натуральних чисел є розкладом у ланцюговий дріб якогось дійсного числа, що лежить між 0 і 1. Проте, якщо будь-яким чином випадково вибирати елементи послідовності натуральних чисел, то середнє геометричне елементів, взагалі кажучи, зовсім не обов'язково буде однаковим для всіх або майже всіх одержуваних послідовностей. Тому існування сталої Хінчина — та обставина, що середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб виявляється однаковим для багатьох дійсних чисел, — це фундаментальне твердження про дійсні числа та їх розклади в ланцюговий дріб^[5], витончений і глибокий результат^[6], один з найбільш вражаючих фактів у математиці^[7].

Схема доведення

Тут наводиться доведення існування сталої Хінчина і формули для неї, що належить Чеславу Риль-Нарджевському^[pl]^[8], яке простіше від доведення Хінчина, який не використовував ергодичної теорії^[9].

Оскільки перший елемент $a_{0}$ розкладу числа $x$ у ланцюговий дріб не має ніякого значення у твердженні, що доводиться, і оскільки міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то ми можемо обмежитися розглядом ірраціональних чисел на відрізку $(0,1)$ , Тобто множиною $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ . Ці числа мають взаємно-однозначну відповідність з ланцюговими дробами вигляду $[0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]$ . Введемо відображення Гаусса $T\colon I\to I$ :

T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]

.

Для кожної борелівської підмножини $E$ множини $I$ також визначимо міру Гаусса — Кузьміна:

\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}

.

тоді $\mu$ — імовірнісна міра на сигма-алгебрі борелівських підмножин $I$ . Міра $\mu$ еквівалентна мірі Лебега на $I$ , але володіє додатковою властивістю: перетворення $T$ зберігає міру $\mu$ . Більше того, можна показати, що $T$ — ергодичне перетворення вимірюваного простору $I$ , забезпеченого мірою $\mu$ (це найскладніший момент у доведенні). Тоді ергодична теорема каже, що для будь-якої $\mu$ -інтегровної функції $f$ на $I$ середнє значення $f\left(T^{k}x\right)$ — однакове майже для всіх $x$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,d\mu

для майже всіх

x\in I

за мірою

\mu

^[9].

Вибираючи функцію $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1}$ , отримуємо:

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}

для майже всіх $[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ з $I$ .

Беручи експоненту від обох частин рівності, отримуємо зліва середнє геометричне перших $n$ елементів ланцюгового дробу при $n\to \infty$ , а праворуч — постійну Хінчина^[9].

Розкладання в ряд

Постійна Хінчина може бути подана у вигляді ряду^[10]:

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}

,

або, розділяючи члени ряду,

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]

,

де $N$ — деяке фіксоване ціле число, $\zeta (s,q)$ — дзета-функція Гурвіца. Обидва ряди швидко збігаються, тому що $\zeta (n)-1$ швидко наближається до нуля зі зростанням $n$ . Можна також дати розклад через дилогарифм^[2]:

\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]

.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел

Хоча середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб дорівнює $K_{0}$ для майже всіх чисел, але це не доведено практично для жодного конкретного числа $x$ , крім тих, які спеціально сконструйовані так, щоб задовольняти цьому твердженню^[3]^[11]. Таке число можна побудувати, задаючи відразу елементи його розкладу в ланцюговий дріб, наприклад, так: будь-яке скінченне число елементів на початку ніяк не вплинуть на граничне значення середнього геометричного, тому їх можна взяти будь-якими (наприклад, можна взяти перші 60 елементів рівними 4); кожний наступний елемент береться рівним 2 або 3, залежно від того, більше чи менше від постійної Хінчина середнє геометричне всіх попередніх елементів. Для даного конкретного прикладу, проте, не виконується статистика Гаусса — Кузьміна.

До чисел $x$ , про які відомо, що середнє геометричне елементів їх розкладу в ланцюговий дріб не може дорівнювати сталій Хінчина, відносяться раціональні числа, квадратичні ірраціональності (корені всіх квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами) і основа натурального логарифма $e$ . Хоча раціональних чисел і квадратичних ірраціональностей нескінченно багато, але вони утворюють множину міри нуль, і тому їх не потрібно включати до «майже всіх» чисел з визначення сталої Хінчина.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб деяких чисел, схоже (виходячи з безпосередніх обчислень середніх для великих $n$ ), збігається до сталої Хінчина, хоча в жодному з цих випадків рівність в границі не доведена. Зокрема, до цих чисел відносяться число π, стала Ейлера — Маскероні, число $\sin 1$ , ${\sqrt[{3}]{2}}$ , сама стала Хінчина. Остання обставина дозволяє припустити, що стала Хінчина ірраціональна, але точно невідомо, чи є стала Хінчина раціональним, алгебраїчним чи трансцендентним числом^[3].

Середні степеневі

Можна розглядати сталу Хінчина як окремий випадок середнього степеневого елементів розкладу чисел у ланцюговий дріб. Для будь-якої послідовності $\{a_{n}\}$ середнє степеня $p$ дорівнює

K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}

.

Якщо $\{a_{n}\}$ — елементи розкладу числа $x$ у ланцюговий дріб, то $K_{p}$ для будь-якого $p<1$ і майже всіх $x$ задаються формулою

K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}

.

Вона отримується обчисленням відповідного степеневого середнього за статистикою Гаусса — Кузьміна і відповідає вибору функції $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p}$ у вищевикладеному доведенні^[2]^[8]. Можна показати, що значення $K_{0}$ виходить в границі $p\to 0$ .

Зокрема, можна отримати середнє гармонійне елементів розкладу в ланцюговий дріб. Це число дорівнює

K_{-1}=1{,}74540566240\ldots

(послідовність A087491 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Примітки

↑ Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme : [нім.] // Compositio Mathematica. — 1935. — Bd. 1. — С. 361—382.MR 1556899
↑ ^а ^б ^в Bailey, Borwein & Crandall, 1997.
↑ ^а ^б ^в Weisstein, Eric W. Khinchin's constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
↑ Хинчин, 1960.
↑ McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers (PDF). Архів (PDF) оригіналу за 24 лютого 2012. Процитовано 18 січня 2016. [Архівовано 2012-12-03 у Wayback Machine.]
↑ Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. — 1955. — Т. 10, вип. 3(65). — С. 197–212.
↑ Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — ISBN 978-0521818056.
↑ ^а ^б Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) : [англ.] // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74–79. MR 13:757b.
↑ ^а ^б ^в Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — ISBN 978-0883850121.
↑ Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В цій статті використано дещо відмінне від стандартного визначення дзета-функції Гурвіца.
↑ Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — doi:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR 2361853. См. послідовність A089618 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Література

Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М. : Физматлит, 1960. — 112 с.
Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant : [англ.] // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, № 217. — С. 417—431. — doi:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. MR 1377659.

Посилання

1000000 знаків сталої Хінчина після коми на сайті факультету математики Барселонського університету

[1] Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme : [нім.] // Compositio Mathematica. — 1935. — Bd. 1. — С. 361—382.MR 1556899

[FOOTNOTEBailey,_Borwein_&_Crandall1997-2] а ^б ^в Bailey, Borwein & Crandall, 1997.

[mw-3] а ^б ^в Weisstein, Eric W. Khinchin's constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[FOOTNOTEХинчин1960-4] Хинчин, 1960.

[5] McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers (PDF). Архів (PDF) оригіналу за 24 лютого 2012. Процитовано 18 січня 2016. [Архівовано 2012-12-03 у Wayback Machine.]

[6] Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. — 1955. — Т. 10, вип. 3(65). — С. 197–212.

[7] Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — ISBN 978-0521818056.

[RyllNardzewski-8] а ^б Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) : [англ.] // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74–79. MR 13:757b.

[kac-9] а ^б ^в Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — ISBN 978-0883850121.

[10] Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В цій статті використано дещо відмінне від стандартного визначення дзета-функції Гурвіца.

[11] Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — doi:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR 2361853. См. послідовність A089618 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]