Теорема про монотонну збіжність

У математичному аналізі функцій дійсної змінної теорема про монотонну збіжність — це будь-яка з низки пов'язаних теорем, що доводять збіжність обмежених монотонних послідовностей (неспадних або незростаючих послідовностей). Неформально теореми стверджують, що якщо послідовність зростаюча і обмежена зверху супремумом, то послідовність збігається до супремуму; аналогічно, якщо послідовність спадна і обмежена знизу інфінумом, то вона збігається до інфінуму.

Збіжність монотонної послідовності дійсних чисел

Лема 1. Якщо послідовність дійсних чисел зростаюча і обмежена зверху, то її супремум є границею.

Доведення. Нехай $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ послідовність, що задовольняє вказаним умовам, і нехай $\{a_{n}\}$ множина членів послідовності $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. За припущенням, $\{a_{n}\}$ непорожня та обмежена зверху. За властивістю найменшої верхньої межі множини дійсних чисел, $c=\sup _{n}\{a_{n}\}$ існує і є скінченним. Отже, для будь-якого $\varepsilon >0$ існує $N$ таке, що $a_{N}>c-\varepsilon$, оскільки інакше $c-\varepsilon$ є верхньою межею для $\{a_{n}\}$, що суперечить визначенню $c$. Тоді, оскільки $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ є зростаючою, і $c$ — її верхня межа, то для кожного $n>N$ маємо $|c-a_{n}|\leqslant |c-a_{N}|<\varepsilon$. Отже, за означенням, границя послідовності $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ дорівнює $\sup _{n}\{a_{n}\}$.

Лема 2. Якщо послідовність дійсних чисел спадає і обмежена знизу, то її інфінум є границею.

Доведення. Доведення аналогічне доведенню для випадку, коли послідовність зростає і обмежена зверху.

Теорема. Якщо $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ є монотонною послідовністю дійсних чисел (тобто, якщо $a_{n}\leqslant a_{n+1}$ для будь-якого $n\geqslant 1$ або $a_{n}\geqslant a_{n+1}$ для будь-якого $n\geqslant 1$), тоді ця послідовність має границю тоді й лише тоді, коли послідовність є обмеженою.

Доведення.

• Необхідність: Доведення випливає безпосередньо з лем.
• Достатність: З означенням границі будь-яка послідовність $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ що має границю

$L$, обов'язково обмежена.

Збіжність монотонного ряду

Теорема

Якщо для всіх натуральних чисел $j$ та $k$ $a_{j,k}$ є невід'ємними дійсними числами і $a_{j,k}\leqslant a_{j+1,k}$, тоді

$\lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}.$

Теорема стверджує, що якщо маємо нескінченну матрицю невід'ємних дійсних чисел, таку що

1. стовпчики слабо зростають і обмежені, і
2. для кожного рядка, ряд члени якого задані цим рядком, збігається,

тоді границя сум рядків дорівнює сумі ряду, $k$-й член якого визначається границею $k$-го стовпця (яка також є його супремум). Ряд збігається тоді й лише тоді, коли (слабко зростаюча) послідовність сум рядків обмежена, а отже і збіжна.

Як приклад розглянемо нескінченний ряд рядків:

${\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}},\end{aligned}}$

де $n$ прямує до нескінченності (границя цього ряду дорівнює e).

Тут елемент матриці в $n$-му рядку та $k$-му стовпці дорівнює

${\begin{aligned}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}};\end{aligned}}$

стовпці (для фіксованого $k$) дійсно слабо зростають з $n$ і обмежені (числом $1/k!$), у той час як рядки мають лише скінченну кількість ненульових членів, а тому умова 2 виконується; теорема тепер стверджує, що можна обчислити границю сум рядків $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$, взявши суму границь стовпців, а саме ${\frac {1}{k!}}$.

Лема Беппо Леві

Див. також Теорема Леві про монотонну збіжність.

Наступний результат належить Беппо Леві, який в 1906 році довів незначне узагальнення попереднього результату Анрі Лебега. Нижче ${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}}$ — $\sigma$-алгебра множин Бореля на $[0,+\infty ]$. За означенням, ${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}}$ містить множину $\{+\infty \}$ і всі підмножини Бореля множини $\mathbb {R} _{\geq 0}$.

Теорема. Нехай $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ — простір з мірою, і $X\in \Sigma$. Розглянемо точкову неспадну послідовність $\{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ з $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірних невід'ємних функцій $f_{k}\colon X\to [0,+\infty ]$, тобто для кожного ${k\geq 1}$ і кожного ${x\in X}$

$0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \infty .$

Нехай поточкова границя послідовності $\{f_{n}\}$ дорівнює $f$. Тобто для кожного $x\in X$

$f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x).$

Тоді функція $f$ є $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірною і

$\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu =\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu .$

Зауваження 1. Інтеграли можуть бути скінченними або нескінченними.

Зауваження 2. Теорема залишається вірною, якщо її умови виконуються $\mu$-майже скрізь. Іншими словами, достатньо, щоб існувала нульова множина $N$ така, що послідовність $\{f_{n}(x)\}$ не спадає для кожного $x\in X\setminus N$. Щоб зрозуміти, чому це так, треба почати із спостереження, відповідно до якого поточкове неспадання послідовності $\{f_{n}\}$ майже скрізь приводить до того, що поточкова границя функції $f$ може бути невизначена на деякій нульовій множині $N$. На цій нульовій множині функцію $f$ можна визначити довільно, наприклад, як нуль, або у будь-який інший спосіб, який зберігає вимірність. Щоб зрозуміти, чому це не вплине на результат теореми, зауважимо, що оскільки $\mu (N)=0$, то для кожного $k$,

${\begin{aligned}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,{\rm {d}}\mu \quad {\text{і}}\quad \int _{X}f\,{\rm {d}}\mu =\int _{X\setminus N}f\,{\rm {d}}\mu ,\end{aligned}}$

за умови, що функція $f$ є $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірною.. (Ці рівності випливають безпосередньо з означення інтеграла Лебега для невід'ємної функції).

Зауваження 3. За умов теореми,

1. $\displaystyle f(x)=\liminf _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k}f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x),$
2. $\displaystyle \liminf \limits _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu =\limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu =\lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

(Зверніть увагу, що другий ланцюжок рівностей випливає із зауваження 5).

Зауваження 4. Доведення, наведене нижче, не використовує жодних властивостей інтеграла Лебега, крім тих, що наведені тут. Таким чином, теорема може бути використана для доведення інших основних властивостей, таких як лінійність, що відносяться до інтегрування за Лебегом.

Зауваження 5 (монотонність інтеграла Лебега). У наведеному нижче доведенні використовуємо властивість монотонності інтеграла Лебега лише до невід'ємних функцій. Зокрема (див. зауваження 4), нехай функції $f,g\colon X\to [0,+\infty ]$ є $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірними.

• Якщо функція $f\leq g$ всюди на $X$, то

$\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu \leq \int _{X}g\,{\rm {d}}\mu .$

• Якщо $X_{1},X_{2}\in \Sigma$ і $X_{1}\subseteq X_{2}$, тоді

$\int _{X_{1}}f\,{\rm {d}}\mu \leq \int _{X_{2}}f\,{\rm {d}}\mu .$

Доведення. Нехай $\operatorname {SF} (h)$ — множина простих $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірних функцій $s\colon X\to [0,\infty )$ таких, що $0\leq s\leq h$ скрізь на $X$.

1. Оскільки $f\leq g$, то

$\operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).$

За означенням інтеграла Лебега та властивостей супремуму отримаємо

${\begin{aligned}\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,{\rm {d}}\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,{\rm {d}}\mu =\int _{X}g\,{\rm {d}}\mu .\end{aligned}}$

2. Нехай ${\mathbf {1} _{X_{1}}}$ — індикаторна функція множини $X_{1}$. З означення інтеграла Лебега можна зробити висновок, що

$\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,{\rm {d}}\mu =\int _{X_{1}}f\,{\rm {d}}\mu ,$

якщо скористатися тим, що для кожного $s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}})$, $s=0$ поза множиною $X_{1}$. Поєднуючи попередню властивість з нерівністю $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f$, отримаємо

$\int _{X_{1}}f\,{\rm {d}}\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,{\rm {d}}\mu \leq \int _{X_{2}}f\,{\rm {d}}\mu .$

Доведення. Це доведення не спирається на лему Фату. Проте пояснимо, як цю лему можна використовувати. Для тих, хто не зацікавлений у незалежних доведеннях, проміжні результати, що наведені нижче, можна пропустити.

Проміжні результати

Інтеграл Лебега як міра

Лема 1. Нехай $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ — вимірний простір. Розглянемо просту $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірну невід'ємну функцію $s\colon \Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}$. Для підмножини $S\subseteq \Omega$ визначимо

$\nu (S)=\int _{S}s\,{\rm {d}}\mu .$

Тоді $\nu$ є мірою на $\Omega$.

Доведення. Монотонність випливає із зауваження 5. Тут ми доведемо лише злічену адитивність, решту доведення залишимо на розсуд читача. Нехай $S=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }S_{i}$, де всі множини $S_{i}$ попарно не перетинаються. Завдяки спрощенню,

$s=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}$,

для деяких скінченних невід'ємних констант $c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}$ і попарно неперетиних множин $A_{i}\in \Sigma$ таких, що $\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega$. За означенням інтеграла Лебега,

${\begin{aligned}\nu (S)&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S\cap A_{i})=\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }S_{j}\right)\cap A_{i}\right)=\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right).\end{aligned}}$

Оскільки всі множини $S_{j}\cap A_{i}$ попарно не перетинаються, то із зліченної адитивності $\mu$ отримуємо

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i}).\end{aligned}}$

Оскільки всі доданки невід'ємні, то сума ряду не змінитися (незалежно від того чи є ця сума скінченною чи нескінченною), якщо поміняти порядок підсумовування. З цієї причини,

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i})&=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S_{j}\cap A_{i})=\\&=\sum _{j=1}^{\infty }\int _{S_{j}}s\,{\rm {d}}\mu =\\&\sum _{j=1}^{\infty }\nu (S_{j}),\end{aligned}}$

що і треба було довести.

«Неперервність знизу»

Наступна властивість є прямим наслідком означення міри.

Лема 2. Нехай $\mu$ буде мірою, і $S=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }S_{i}$, де

$S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S$

є неспадним ланцюгом у якому всі множини є $\mu$-вимірними. Тоді

$\mu (S)=\lim _{i}\mu (S_{i}).$

Доведення теореми

Крок 1. Почнемо з того, що доведемо $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірність функції $f$.

Коментар. Якщо використовували лему Фату, то вимірність випливає безпосередньо із зауваження 3(а). Щоб довести це, не використовуючи лему Фату, достатньо показати, що обернений образ інтервалу $[0,t]$ для функції $f$ є елементом сигма-алгебри $\Sigma$ на множині $X$, оскільки (замкнуті) інтервали породжують сигма-алгебру Бореля на множині дійсних чисел. Оскільки $[0,t]$ є замкнутим інтервалом, і для кожного $k$, такого що $0\leq f_{k}(x)\leq f(x)$,

$0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad \left[\forall k\quad 0\leq f_{k}(x)\leq t\right].$

Таким чином,

$\{x\in X\mid 0\leq f(x)\leq t\}=\bigcap _{k}\{x\in X\mid 0\leq f_{k}(x)\leq t\}.$

Як обернений образ множини Бореля для $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірної функції $f_{k}$ кожна множина в зліченному перетині є елементом $\sigma$-алгебри $\Sigma$. Оскільки $\sigma$-алгебри за означенням є замкнені при зліченому перетині, то це означає, що функція $f$ є $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірною і інтеграл $\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu$ добре визначений (і, можливо, нескінченний).

Крок 2. Спочатку покажемо, що $\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$ З означення функції $f$ і монотонності функцій $\{f_{k}\}$ випливає, що $f(x)\geq f_{k}(x)$ для кожного $k$ і кожного $x\in X$. З монотонності (або, точніше, її вужчою версії, встановленої в зауваженні 5; див.також зауваження 4) інтеграла Лебега,

$\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu \geq \int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu ,$

та

$\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

Зауважимо, що границя справа існує (скінечна чи нескінченна), оскільки внаслідок монотонності (див. зауваження 5 і зауваження 4) послідовність не спадна.

Завершення кроку 2. Тепер доведемо зворотну нерівність. Потрібно довести, що

$\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

Доведення за допомогою леми Фату. Відповідно до зауваження 3 нерівність, яку потрібно довести, еквівалентна нерівності

$\int _{X}\liminf _{k}f_{k}(x)\,{\rm {d}}\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

Але ця нерівність відразу випливає з леми Фату, що завершує доведення.

Незалежне доведення. Для доведення нерівності без використання леми Фату потрібні деякі додаткові інструменти. Нехай $\operatorname {SF} (f)$ — набір простих $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірних функцій $s\colon X\to [0,\infty )$ таких, що $0\leq s\leq f$ на $X$.

Крок 3. Для заданої простої функції $s\in \operatorname {SF} (f)$ і дійсного числа $t\in (0,1)$ визначимо

$B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.$

Тоді

$B_{k}^{s,t}\in \Sigma ,\quad B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}\quad {\text{і}}\quad X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}.$

Крок 3а. Щоб довести перше твердження припустимо, що $s=\sum \limits _{i=1}^{m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}$ для деякої скінченної сукупності попарно неперетинних вимірних множин $A_{i}\in \Sigma$ таких, що $X=\bigcup \limits _{i=1}^{m}A_{i}$, деяких (скінченних) невід'ємних констант $c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}$, і $\mathbf {1} _{A_{i}}$ — індикаторна функція множини $A_{i}$.

Для кожного $x\in A_{i}$, нерівність $t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)$ виконується тоді й лише тоді, коли $f_{k}(x)\in [t\cdot c_{i},+\infty ]$. Враховуючи, що множини $A_{i}$ попарно не перетинаються,

$B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\bigl (}f_{k}^{-1}{\bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\bigr )}\cap A_{i}{\bigr )}.$

Оскільки прообраз $f_{k}^{-1}{\bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\bigr )}$ борелівської множини $[t\cdot c_{i},+\infty ]$ вимірної функції $f_{k}$ є вимірним, і за означенням $\sigma$-алгебра замкнена відносно скінченних перетинів та об'єднань, то отримуємо перше твердження.

Крок 3б. Для доведення другого твердження зауважимо, що для кожного $k$ і будь-якого $x\in X$, $f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)$.

Крок 3в. Для доведення третього твердження покажемо, що $X\subseteq \bigcup \limits _{k}B_{k}^{s,t}$. Дійсно, якщо припустити протилежне, тобто $X\not \subseteq \bigcup \limits _{k}B_{k}^{s,t}$, то існує елемент

$x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})$

такий, що $f_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})$ для кожного $k$. Знайшовши границю при $k\to \infty$, отримаємо

$f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).$

Але за початковим припущенням $s\leq f$. Отримали протиріччя.

Крок 4. Для будь-якої простої $(\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-вимірної невід'ємної функції $s_{2}$ виконується рівність

$\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,{\rm {d}}\mu =\int _{X}s_{2}\,{\rm {d}}\mu .$

Щоб довести це, визначимо $\nu (S)=\int _{S}s_{2}\,{\rm {d}}\mu$. Згідно з лемою 1 $\nu (S)$ є вимірною на $\Omega$. За «неперервністю знизу» (згідно леми 2),

$\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,{\rm {d}}\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,{\rm {d}}\mu ,$

що і треба було довести.

Крок 5. Тепер доведемо, що для будь-якого $s\in \operatorname {SF} (f)$

$\int _{X}s\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

Дійсно, використовуючи означення $B_{k}^{s,t}$ та невід'ємність функцій $f_{k}$, а також монотонність інтеграла Лебега (див. зауваження 5 і зауваження 4), маємо

$\int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,{\rm {d}}\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}f_{k}\,{\rm {d}}\mu \leq \int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu$

для будь-якого $k\geq 1$. Відповідно до кроку 4 при $k\to \infty$ отримуємо нерівність

$t\int _{X}s\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

Обчисливши границю при $t\uparrow 1$, отримаємо

$\int _{X}s\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu ,$

що і треба було довести.

Крок 6. Тепер можна довести зворотну нерівність, тобто

$\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

Справді, з невід'ємності отримуємо $f_{+}=f$ і $f_{-}=0$. Для обчислення важливою є невід'ємність функції $f$. Використовуючи означення інтеграла Лебега та нерівність, встановлену на кроці 5, отримуємо

$\int _{X}f\,{\rm {d}}\mu =\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,{\rm {d}}\mu .$

Доведення завершено.

Див. також

• Нескінченний ряд
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)