Топологічний простір

Топологічний простір
Досліджується в	загальна топологія
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Топологічний простір у Вікісховищі

Топологічний простір — це впорядкована пара (X, Γ), де X — множина, а Γ — система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє таким умовам:

1. Порожня множина $\varnothing$ та множина X належать Γ.
2. Об'єднання довільного набору множин з Γ також належить Γ.
3. Перетин скінченного набору множин з Γ також належить Γ.

Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Множини в Γ називають відкритими, їхнє доповнення відповідно замкненими множинами.

Поняття топологічного простору успішно застосовується у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднувальне поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.

Порівняння топологій

Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ₁ та Γ₂. Якщо будь-яка множина з топології Γ₁ також належить Γ₂, то кажуть, що топологія Γ₁ грубша за топологію Γ₂, відповідно, топологія Γ₂ тонша за топологію Γ₁.

Найтоншою топологією на множині X є топологію, в якій всі множини є відкритими (тобто топологію яка складається із усіх підмножин множини X). Така топологія називається дискретною.

Найгрубшою є топологія Г = { $\varnothing$, X} (антидискретна топологія).

База топології

Топології найчастіше визначаються за допомогою баз. Підмножина $B\subset \Gamma$ множини відкритих множин топології називається базою топології, якщо кожна відкрита множина є об'єднанням елементів множини $B$.

Наприклад, множина відкритих відрізків $(a,b)$ дійсної прямої $\mathbb {R}$ є базою стандартної топології. Коли говорять про відкриті та замкнені підмножини дійсної прямої, як правило мають на увазі цю топологію.

Приклади

Будь-який евклідів простір $\mathbb {R} ^{n}$ є топологічним простором. Базою топології для них можна обрати множину відкритих куль, або відкритих кубів.

Взагалі кажучи, будь-який метричний простір є топологічним простором, базою топології якого є множина відкритих куль. У функціональному аналізі такими є нескінченновимірні простори функцій.

Якщо взяти множину відрізків вигляду $(a,\infty )$ на дійсній прямій $\mathbb {R}$, то ми отримаємо «топологію стрілки».

Неперервні функції

Функція f : X₁→ X₂, де (X₁, Γ₁) та (X₂, Γ₂) — топологічні простори називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в (X₂, Γ₂) є відкрита множина в (X₁, Γ₁) . Можна довести що у випадку метричних просторів таке означення збігається з означенням неперевності функції в термінах $\epsilon -\delta$. Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.

Індукована топологія

Якщо (Х,Г) є топологічним простором і А — будь-яка підмножина Х, можна зробити з А топологічний простір, означаючи топологію $\ \Lambda$ на А, яка складається з всіх підмножин А які можуть бути виражені як перетин елементів Г з А, $\ \Lambda ={\big \{}U|U=A\cap O,O\in \ \Gamma {\big \}}$. $\ \Lambda$ називається індукованою (відносною) топологією.

Топологія добутку

Якщо (X₁, Γ₁) і (X₂, Γ₂) — топологічні простори, то можна зробити добуток $X_{1}\times X_{2}:\{(x_{1},x_{2})\;|\;x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2}\}$ топологічним простором, означаючи топологію Γ на ньому як таку що містить всі підмножини Х₁×Х₂ які можуть бути виражені у формі об'єдання множин форми $O_{1}\times O_{2},O_{1}\in \Gamma _{1},O_{2}\in \Gamma _{2}$. Г називають топологією добутку. Використовуючи стандартну топологію для $\mathbb {R}$ можна з допомогою цього означення побудувати топології на $\mathbb {R} ^{n}$, причому ми отримаємо таку ж топологію як і при означенні через об'єдання відкритих куль.

Див. також

• Компактно-відкрита топологія
• Скінченний топологічний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)
• В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология випуск 21 серії «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.
• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Я.Стюарт, Топология, Квант, № 7, 1992.
• В. В. Прасолов, Наглядная топология