Під характеристи́чною фу́нкцією
випадкової величини
розуміють математичне сподівання випадкової величини
:
,
де
— дійсний параметр.
Якщо
— функція розподілу
, то
![{\displaystyle \psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7761482c00455ff46719ae33a1947adc9945802)
У випадку дискретного розподілу
![{\displaystyle \psi (t)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b859db60264d1429a334d63780fadf4e9571d6d)
(ряд Фур'є з коефіцієнтами
). У випадку неперервного розподілу
![{\displaystyle \psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f(x)dx\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52c20935a3bb9a77a5a987924af5ab5ff84a004)
(перетворення Фур'є)
Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини
[ред. | ред. код]
- Коли випадкова величина
дискретна, тобто
, то
.
Приклад. Нехай
має розподіл Бернуллі. Тоді
.
.
Приклад. Нехай
має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді
.
Для будь-якої характеристичної функції
,
Якщо
з константами
і
, то
(
— характеристична функція
).
Якщо
є
раз диференційованою по
, то при
![{\displaystyle \psi ^{(k)}(0)=i^{k}MX^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dbe75d46dd8ac593293a7dbe53ffc726ce9e71)
є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.
Якщо
- незалежні випадкові величини, та
- деякі константи, тоді
![{\displaystyle \psi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\psi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \psi _{X_{n}}(a_{n}t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49845852e356de675dc647ca14f7569d7b8b9631)
Характеристична функція є самоспряженою:
Випадкова величина
є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція
є дійснозначною.
Нехай
— функція розподілу, а
— характеристична функція випадкової величиини
. Якщо
,
— точки неперервності
, то
![{\displaystyle F(x_{2})-F(x_{1})={1 \over {2\pi }}\lim _{c\to \infty }\int _{\infty }^{\infty }{{e^{itx_{1}}-e^{itx_{2}}} \over it}\ \psi (t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68971498a5cff844f32e68f4b635b15b97602ef4)
Якщо
— неперервна, а
— густина
, то спрощується
![{\displaystyle f(x)={1 \over {2\pi }}\int _{\infty }^{\infty }e^{itx}\psi (t)\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1b9dd439e053c0062fd409ef54b5163bcd3a41)
Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.
з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.
Якщо, наприклад, якимось чином для
отримано характеристичну функцію
, то, згідно з теоремою єдиності і
Гранична теорема для характеристичних функцій
[ред. | ред. код]
Послідовність
функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу
, якщо у всіх точках неперервності
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732e5a10862bfd7c3d470e681f53f4cd11070a15)
У дискретному випадку збіжність в основному
до
, означає, що відповідні функції збігаються:
для всіх
.
У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо
неперервні)
для всіх
.
Якщо послідовність
функції розподілу збігається в основному до функції розподілу
, то послідовність відповідних характеристичних функцій
збігається до
— характеристичної функції
. Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.
Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій
збігається до неперервної функції
, то послідовність відповідних функцій розподілу
збігається до деякої функції розподілу
і
є характеристичною функцією
).
У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення
часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.
Нехай
є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини
вказаного типу, а
— комплексний параметр. Тоді
![{\displaystyle \phi (t)=\sum _{k}p_{k}\;z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d26d24854117beea7099280351dde5677068ab9)
називається твірною функцією випадкової величини
. Функція
— аналітична в
. Її границя при
дає характеристичну функцію
.
Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.
Характеристичні функції багатомірних випадкових величин
[ред. | ред. код]
Під характеристичною функцією
-мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини
:
,
де
,
— дійсні параметри.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.