t-критерій Стьюдента

t-критерій Стьюдента/Ст'юдента — загальна назва для класу методів статистичної перевірки гіпотез (статистичних критеріїв), заснованих на порівнянні з розподілом Стьюдента. Найчастіші випадки застосування t-критерію пов'язані з перевіркою рівності середніх значень у двох вибірках.

Історія

Цей критерій розробив був Вільям Ґоссет для оцінки якості пива в компанії Гіннес. У зв'язку із зобов'язаннями перед компанією не розголошувати комерційної таємниці (якою керівництво Гіннесу вважало таке використання статистичного апарату в своїй роботі), стаття Ґоссета вийшла в 1908 році в журналі «Біометрика» під псевдонімом «Student» (Студент).

Вимоги до даних

Для застосування названого критерію потрібно аби початкові дані мали нормальний розподіл. У разі застосування двовибіркового критерію для незалежних вибірок також потрібно дотримуватися умови рівности дисперсій. Існують, проте, альтернативи критерію Стьюдента для ситуації з нерівними дисперсіями.

Двовибірковий t-критерій для незалежних вибірок

У разі якщо розміри вибірок відрізняються мало, застосовують спрощену формулу наближених розрахунків:

$t={\frac {|M_{1}-M_{2}|}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{N_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{N_{2}}}}}}$

Коли розміри вибірок відрізняються значно, застосовується складніша і точніша формула:

$t={\frac {|M_{1}-M_{2}|}{\sqrt {{\frac {(N_{1}-1)\sigma _{1}^{2}+(N_{2}-1)\sigma _{2}^{2}}{N_{1}+N_{2}-2}}({\frac {1}{N_{1}}}+{\frac {1}{N_{2}}})}}}$

Де $M_{1},M_{2}$ — середнє арифметичне, $\sigma _{1},\sigma _{2}$ — стандартне відхилення, а $N_{1},N_{2}$ — розміри вибірок.

Кількість ступенів свободи розраховують як

$\,df=N_{1}+N_{2}-2$

Двовибірковий t-критерій для залежних вибірок

Для обчислення емпіричного значення t-критерію в ситуації перевірки гіпотези про відмінності між двома залежними вибірками (наприклад, двома пробами одного і того ж тесту з часовим інтервалом) застосовують таку формулу:

$t={\frac {|M_{d}|}{\sigma _{d}/{\sqrt {N}}}}$

де $M_{d}$ — середня різниця значень, а $\sigma _{d}$ — стандартне відхилення різниць.

Кількість ступенів свободи розраховують як

$\,df=N-1$

Одновибірковий t-критерій

Застосовується для перевірки гіпотези про відмінність середнього значення $\,M_{x}$ від деякого відомого значення $\,A$:

$t={\frac {|M_{x}-A|}{\sigma /{\sqrt {N}}}}$

Кількість ступенів свободи розраховують як

$\,df=N-1$

Непараметричні аналоги

Аналогом двостороннього критерію для незалежних вибірок є U-критерій Манна-Уітні. Для ситуації із залежними вибірками аналогами є критерій знаків і T-критерій Вілкоксона.

Див. також

• Статистичний критерій

Інтернет посилання

• Ромакін В. В. Комп'ютерний аналіз даних: Навчальний посібник. — Миколаїв: Вид-во МДГУ ім. Петра Могили, 2006. — 144 с.