Восьмивимірні гіперкомплексні числа

Восьмивимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з сімома уявними одиницями.

Множення

Як чотиривимірні гіперкомплексні числа були визначені через двовимірні:

1. введеням додаткової уявної одиниці ${\boldsymbol {j}}$: $\ (a+bi)+(c+di){\boldsymbol {j}}$ та
2. прийняття добутків різних уявних одиниць новими уявними одиницями: $ij=k$.

Так і восьмивимірні можна задати рекурсивно через чотиривимірні:

1. введеням додаткової уявної одиниці ${\boldsymbol {\ell }}$: $\ (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k){\boldsymbol {\ell }}$,
2. прийняття невідомих добутків $il,jl,kl$ новими уявними одиницями (якщо домножити ${\boldsymbol {\ell }}$ зліва, то добутки будуть $li,lj,lk$).

Степенева асоціативність

Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:

$z\cdot z^{2}=z^{2}\cdot z$

$z^{2}=(a+I)(a+I)=(a^{2}+2aI)+I^{2}$

достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для уявної частини $I$.

Другого легко досягти якщо:

1. квадрати уявних одиниць є дійсними числами;
2. добутки уявних одиниць антикомутують.

октоніон / спліт-октоніон

1	i	j	k		l	il	jl	kl
i	−1	k	−j		il	−l	−kl	jl
j	−k	−1	i		jl	kl	−l	−il
k	j	−i	−1		kl	−jl	il	−l
l	−il	−jl	−kl		∓1	±i	±j	±k
il	l	-kl	jl		∓i	∓1	∓k	±j
jl	kl	l	-il		∓j	±k	∓1	∓i
kl	-jl	il	l		∓k	∓j	±i	∓1

Альтернативність

Використавши також одну зі слабких форм асоціативності — альтернативність, заповнимо таблицю множення:

• Верхня ліва четверть заповнюється $\{\ \pm ,\ 1,\ i,\ j,\ k\}$ згідно з однією із чотиривимірних гіперкомплексних систем (показано кватерніон).
• Верхня права четверть заповнюється:
  • зелене — новими одиницями $il,jl,kl$, які є однойменними добутками;
  • жовте — значеннями $-\ell$, які отримуються з властивості альтернативності, знаки співпадають з головною діагоналлю;
  • червоне — добуток $i\cdot jl=-kl$, який визначимо одним із правил Муфанга $g(hu)=(hg)u$, щоб точно втратити асоціативність (але зберегти альтернативність);
  • всі інші — обчислюємо використовуючи альтернативність.

$i\cdot kl=jl$

$il=k\cdot jl$

$j\cdot il=kl$

• Нижня ліва четверть заповнюється використовуючи альтернативність. Вона буде транспонованою верхньою правою, або буде протилежного знаку, окрім діагоналі.
• Нижня права четверть заповнюється використовуючи альтернативність. Вона буде складатись із $\{\ \pm ,\ 1,\ i,\ j,\ k\}$.

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)