Умовна збіжність

Ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ називається умовно збіжним, якщо він збіжний, але не абсолютно збіжний, тобто сума $\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}$ існує (і скінченна), але $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|=\infty$.

Приклади

Прості приклади рядів, що умовно збігаються, дає ознака збіжності Лейбніца: це знакопереміжнні ряди які складаються з членів, що спадають за абсолютною величиною та прямують до нуля. Наприклад, ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}}{n}}$

є збіжним лише умовно, оскільки ряд із його абсолютних величин — гармонічний ряд — є розбіжним.

Властивості

• Якщо ряд умовно збіжний, то ряди, складені з його додатних і від'ємних членів є розбіжними.
• Шляхом зміни порядку членів умовно збіжного ряду, можна одержати ряд, що збігається до будь-якої наперед заданої суми чи є розбіжним (теорема Рімана).
• При почленному множенні двох умовно збіжних рядів, результат може бути розбіжним рядом.

Варіації і узагальнення

• Поняття умовної збіжності природно узагальнюється на ряди векторів, нескінченні добутки, а також на невласні інтеграли.

Див. також

• Абсолютна збіжність
• Безумовна збіжність
• Теорема Рімана про умовно збіжний ряд

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 513. — 594 с.