Мінімальна поверхня Каталана

Не плутати з Поверхня Каталана — лінійчатою поверхнею Каталана.

У диференціальній геометрії мінімальна поверхня Каталана — це мінімальна поверхня, вперше досліджена Еженом Шарлем Каталаном у 1855 році^[1].

Вона має особливу властивість бути мінімальною поверхнею, що містить циклоїду як геодезичну. Вона також замітається сімейством параболічних кривих^[2].

Параметризація

Поверхня має математичні характеристики, що виражаються параметричними рівняннями^[3]:

{\begin{aligned}x(u,v)&=u-\sin(u)\cosh(v)\\y(u,v)&=1-\cos(u)\cosh(v)\\z(u,v)&=4\sin(u/2)\sinh(v/2)\end{aligned}}

Параметризацію мінімальної поверхні Каталана можна отримати при $f(z)=i{\frac {1-z^{2}}{z^{3}}},g(z)=z$ (а тоді $z=e^{u+iv}$ ) у веєрштрасівській параметризації мінімальної поверхні:

{\begin{aligned}x&=a\Re \left\{\int \limits _{0}^{w}(1-g(z)^{2})f(z)dz\right\}\\y&=a\Re \left\{i\int \limits _{0}^{w}(1+g(z)^{2})f(z)dz\right\}\\z&=a\Re \left\{2\int \limits _{0}^{w}g(z)f(z)dz\right\},\end{aligned}}

де $\Re \{z\}$ позначає дійсну частину $z$ .

Див. також

Поверхня Каталана

Примітки

↑ Catalan, E. "Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires." Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 41, 1019–1023, 1855. (фр.)
↑ Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny, Minimal Surfaces, Volume 1. Springer 2010 (англ.)
↑ Gray, A. "Catalan's Minimal Surface." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, pp. 692–693, 1997 (англ.)

Ланки

Weisstein, Eric W. "Catalan's Surface." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CatalansSurface.html [Архівовано 4 січня 2022 у Wayback Machine.]
Weiqing Gu, The Library of Surfaces. https://web.archive.org/web/20130317011222/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/catalan.html

Це незавершена стаття з геометрії.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] Catalan, E. "Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires." Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 41, 1019–1023, 1855. (фр.)

[2] Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny, Minimal Surfaces, Volume 1. Springer 2010 (англ.)

[3] Gray, A. "Catalan's Minimal Surface." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, pp. 692–693, 1997 (англ.)

[1]

[2]

[3]