K-ноїд

У диференціальній геометрії k-ноїд — це мінімальна поверхня з k катеноїдними отворами. Зокрема, 3-ноїд часто називають триноїдом. Перші k -ноїдні мінімальні поверхні були описані Хорхе та Міксом у 1983 році^[1].

Термін k-ноїд і триноїд також іноді використовується для позначення поверхонь постійної середньої кривини, особливо розгалужених версій ондулоїда («триундулоїди»)^[2].

k-ноїди топологічно еквівалентні k -проколотим сферам (сферам з вилученими k точками). k-ноїди із симетричними отворами можуть бути створені за допомогою параметризації Вейєрштрасса-Еннепера $f(z)=1/(z^{k}-1)^{2},g(z)=z^{k-1}\,\!$ ^[3]. Це дає змогу записати параметризацію поверхні формулами

{\begin{aligned}X(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {-1}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}-(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k+z^{2}-1{\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}Y(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {i}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}+(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k-z^{2}-1){\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}

Z(z)=\Re \left\{{\frac {1}{k-kz^{k}}}\right\}

де $_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ – гіпергеометрична функція Гауса і $\Re \{z\}$ позначає дійсну частину $z$ .

Також можна створити k-ноїди з отворами в різних напрямках і розмірах^[4], k-ноїди, що відповідають платонічним тілам, і k-ноїди з ручками^[5].

Примітки

↑ L. P. Jorge and W. H. Meeks III, The topology of complete minimal surfaces of finite total Gaussian curvature, Topology 22 (1983)
↑ N Schmitt (2007). Constant Mean Curvature n-noids with Platonic Symmetries. arXiv:math/0702469.
↑ Matthias Weber (2001). Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples (PDF). Indiana.edu. Архів оригіналу (PDF) за 12 липня 2019. Процитовано 5 жовтня 2012. [Архівовано 2019-07-12 у Wayback Machine.]
↑ H. Karcher. Construction of minimal surfaces, in "Surveys in Geometry", University of Tokyo, 1989, and Lecture Notes No. 12, SFB 256, Bonn, 1989, pp. 1-96 (PDF). Math.uni-bonn-de. Архів оригіналу (PDF) за 21 лютого 2022. Процитовано 5 жовтня 2012.
↑ Jorgen Berglund, Wayne Rossman (1995). Minimal Surfaces with Catenoid Ends. Pacific J. Math. 171 (2): 353—371. arXiv:0804.4203. Bibcode:2008arXiv0804.4203B. doi:10.2140/pjm.1995.171.353.

Ланки

Indiana.edu [Архівовано 20 жовтня 2019 у Wayback Machine.]
Page.mi.fu-berlin.de [Архівовано 16 червня 2017 у Wayback Machine.]

Це незавершена стаття з геометрії.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] L. P. Jorge and W. H. Meeks III, The topology of complete minimal surfaces of finite total Gaussian curvature, Topology 22 (1983)

[2] N Schmitt (2007). Constant Mean Curvature n-noids with Platonic Symmetries. arXiv:math/0702469.

[3] Matthias Weber (2001). Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples (PDF). Indiana.edu. Архів оригіналу (PDF) за 12 липня 2019. Процитовано 5 жовтня 2012. [Архівовано 2019-07-12 у Wayback Machine.]

[4] H. Karcher. Construction of minimal surfaces, in "Surveys in Geometry", University of Tokyo, 1989, and Lecture Notes No. 12, SFB 256, Bonn, 1989, pp. 1-96 (PDF). Math.uni-bonn-de. Архів оригіналу (PDF) за 21 лютого 2022. Процитовано 5 жовтня 2012.

[5] Jorgen Berglund, Wayne Rossman (1995). Minimal Surfaces with Catenoid Ends. Pacific J. Math. 171 (2): 353—371. arXiv:0804.4203. Bibcode:2008arXiv0804.4203B. doi:10.2140/pjm.1995.171.353.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]