Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У математиці нерівність Малера , названа на честь Курта Малера , стверджує, що середнє геометричне почленної суми двох скінченних послідовностей додатних чисел більше або дорівнює сумі їхніх двох окремих середніх геометричних:
∏
k
=
1
n
(
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≥
∏
k
=
1
n
x
k
1
/
n
+
∏
k
=
1
n
y
k
1
/
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{1/n}\geq \prod _{k=1}^{n}x_{k}^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}y_{k}^{1/n}}
коли
x
k
,
y
k
>
0
{\displaystyle x_{k},y_{k}>0}
k
{\displaystyle k}
З нерівності середніх арифметичних і геометричних маємо:
∏
k
=
1
n
(
x
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≤
1
n
∑
k
=
1
n
x
k
x
k
+
y
k
,
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{x_{k} \over x_{k}+y_{k}},}
і
∏
k
=
1
n
(
y
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≤
1
n
∑
k
=
1
n
y
k
x
k
+
y
k
.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{y_{k} \over x_{k}+y_{k}}.}
Отже,
∏
k
=
1
n
(
x
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
+
∏
k
=
1
n
(
y
k
x
k
+
y
k
)
1
/
n
≤
1
n
n
=
1.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left({x_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}+\prod _{k=1}^{n}\left({y_{k} \over x_{k}+y_{k}}\right)^{1/n}\leq {1 \over n}n=1.}
Після позбавлення від знаменників маємо бажаний результат.
Середнє
Геометрія Теорія ймовірностей Теореми Нерівності
