Порядкове число

Представлення порядкових чисел до ω^ω. Кожен оберт спіралі представляє степінь ω

Порядкове число (трансфінітне число, ординал) — в теорії множин, узагальнення натурального числа відмінне від цілих чисел та кардинальних чисел. Введені Георгом Кантором в 1897 для класифікації цілком впорядкованих множин. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними принципом трансфінітної індукції.

Означення

Одне з сучасних формулювань визначення трансфінітних чисел по фон Нейману:

Множина $\alpha$ називається ординалом, якщо вона транзитивна (тобто кожен її елемент є одночасно її підмножиною) і цілком впорядкована відношенням належності $\in$.

Властивості

• $\varnothing$ — ординал. Його також позначають як 0.
• Якщо $\alpha$ — ординал, то кожен елемент $\alpha$ — ординал.
• Якщо $\alpha$ — ординал, то $\alpha \cup \{\alpha \}$ — ординал. Його позначають як $\alpha +1$.
• Не для кожного ординала $\alpha$ існує ординал $\beta$ такий, що $\alpha =\beta +1$. Ординали, які не можна представити як суму іншого ординала й одиниці, називають граничними, решту — неграничними. (Утім, $\varnothing$ зазвичай також вважають неграничним, хоча є різні тлумачення.)
• Скінченні ординали (як і скінченні кардинали) збігаються з натуральними числами (тут під множиною натуральних чисел мається на увазі ℕ₀ = {0, 1, 2, …}, тобто включаючи нуль).
• Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал $\omega$ та найменший нескінченний кардинал $\aleph _{0}$.
• Існує тільки один зліченний кардинал $\aleph _{0}$, на відміну від незліченної множини зліченних ординалів $\omega _{1}=$ {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, …}
• Множина всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом $\omega _{1}$, якому відповідає кардинал $\aleph _{1}$.
• Довільна множина $x$ ординалів цілком упорядкована відношенням $\in$, при цьому $\bigcap x$ — найменший елемент довільної множини ординалів, $\bigcup x$ — ординал, не менший за довільний ординал $x$.
• Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є класом.

Арифметика ординалів

1. Додавання не комутативне, зокрема: $1+\omega$ не дорівнює $\omega +1$, тому, що $1+\omega =\omega$.
2. Додавання асоціативне: $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma$.

Див. також

• Кардинальне число

Література

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)
• Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.