Розширення групи

Розши́рення гру́пи — група, що містить задану групу як нормальну підгрупу. У задачі розширення зазвичай задано нормальну підгрупу $N$ і факторгрупу $Q$, і шукається розширення $G\supset N$ таке, що $G/N\cong Q$, або, що еквівалентно, така $G$ що існує коротка точна послідовність:

$1\to N\to G\to Q\to 1$.

У цьому випадку кажуть, що $G$ є розширенням $Q$ за допомогою $N$ (іноді використовується інше формулювання: група $G$ є розширенням $N$ за допомогою $Q$).

Розширення називають центральним розширенням, якщо підгрупа $N$ лежить у центрі групи $G$.

Приклади

Групи $\mathbb {Z} _{4}$ так само як $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ є розширеннями $\mathbb {Z} _{2}$ за допомогою $\mathbb {Z} _{2}$.

Очевидне розширення — прямий добуток: якщо $G=K\times H$, то $G$ є як розширенням $H$, так і $K$. Якщо $G$ є напівпрямим добутком груп $K$ і $H$ ($G=K\rtimes H$), то $G$ є розширенням $H$ за допомогою $K$.

Вінкові добутки дають інші приклади розширень.

Властивості

Якщо вимагати, щоб $G$ і $Q$ були абелевими групами, то множина класів ізоморфізмів розширення групи $Q$ за допомогою заданої (абелевої) групи $N$, фактично, є групою, яка ізоморфна:

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)$

(функтор Ext). Деякі інші загальні класи розширень відомі, але немає теорії, яка розглядає всі можливі розширення одночасно, у цьому сенсі задача розширення групи зазвичай вважається складною.

Оскільки будь-яка скінченна група $G$ має максимальну нормальну підгрупу $N$ із простою фактор-групою $G/N$, усі скінченні групи можна побудувати як композиційні ряди $\{A_{i}\}$ де кожна група $A_{i+1}$ є розширенням $A_{i}$ за допомогою деякої простої групи. Цей факт став одним із важливих стимулів для розв'язання задачі класифікації простих скінченних груп.

Класифікація розширень

Розв'язання задачі розширення означає класифікацію всіх розширень групи $H$ за допомогою $K$, або, конкретніше, вираження всіх таких розширень у термінах математичних об'єктів, які в якомусь сенсі простіші (легко обчислювані або добре вивчені). У загальному випадку ця задача дуже складна, і всі найкорисніші результати класифікують розширення, які задовольняють деяким додатковим умовам.

Для задачі класифікації важливим поняттям є еквівалентність розширень; кажуть, що розширення:

$1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1$

і

$1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1$

еквівалентні (або конгруентні), якщо існує ізоморфізм групи $T:G\to G'$, що робить комутативною діаграму:

Фактично, достатньо мати групу гомоморфізмів. Внаслідок передбачуваної комутативності діаграми відображення обов'язково буде ізоморфізмом за короткою лемою про п'ять гомоморфізмів.

Може статися, що розширення $1\to K\to G\to H\to 1$ і $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ не еквівалентні, але $G$ і $G'$ ізоморфні як групи. Наприклад, є $8$ нееквівалентних розширень 4-групи Кляйна за допомогою $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ але існують, з точністю до ізоморфізму, тільки чотири групи порядку 8, що містять нормальну підгрупу порядку $2$ з фактор-групою, ізоморфною 4-групі Кляйна.

Тривіальні розширення

Тривіальне розширення — це розширення:

$1\to K\to G\to H\to 1$,

яке еквівалентне розширенню:

$1\to K\to K\times H\to H\to 1$,

де ліва і права стрілки є відповідно включенням та проєкцією кожного множника $K\times H$.

Класифікації розщеплюваних розширень

Розщеплюване розширення — це розширення:

$1\to K\to G\to H\to 1$

з гомоморфізмом $s\colon H\to G$, таким що перехід від $H$ до $G$ за допомогою $s$, а потім назад до $H$ за фактор-відображенням короткої точної послідовності породжує тотожне відображення на $H$, тобто $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$. У цій ситуації зазвичай кажуть, що $s$ розщеплює згадану вище точну послідовність.

Розщеплювані розширення дуже легко класифікувати, оскільки розширення розщеплюване тоді й лише тоді, коли група $G$ є напівпрямим добутком $K$ і $H$. Самі напівпрямі добутки легко класифікувати, оскільки вони взаємно однозначно відповідають гомоморфізмам $H\to \operatorname {Aut} (K)$, де $\operatorname {Aut} (K)$ є групою автоморфізмів $K$.

Центральне розширення

Центральне розширення групи $G$ є короткою точною послідовністю груп

$1\to A\to E\to G\to 1$

такою, що $A$ лежить у $Z(E)$ (центрі групи $E$). Множина класів ізоморфізмів центральних розширень групи $G$ за допомогою $A$ (де $G$ діє тривіально на $A$) є взаємно-однозначною відповідністю з групою когомологій $H^{2}(G,A)$.

Приклади центральних розширень можна побудувати, взявши будь-яку групу $G$ та будь-яку абелеву групу $A$, вважаючи $E$ рівним $A\times G$. Цей вид розщеплюваного прикладу, (розщеплюване розширення в сенсі задачі розширення, оскільки $G$ є підгрупою $E$) не становить особливого інтересу, оскільки він відповідає елементу $0$ в $H^{2}(G,A)$ згідно зі згаданою вище відповідністю. Серйозніші приклади знайдено в теорії проєктивних представлень у випадках, коли проєктивні представлення неможливо підняти до звичайних лінійних представлень.

У разі скінченних досконалих груп є універсальне досконале центральне розширення.

Аналогічно, центральне розширення алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ є точною послідовністю

$0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,$

такою що ${\mathfrak {a}}$ міститься в центрі ${\mathfrak {e}}$.

Існує загальна теорія центральних розширень у многовидах Мальцева .

Групи Лі

У теорії груп Лі центральні розширення виникають у зв'язку з алгебричною топологією. Грубо кажучи, центральні розширення груп Лі за допомогою дискретних груп це те саме, що накривні групи. Точніше, зв'язний накривний простір $G^{\ast }$ зв'язної групи Лі $G$ є природним центральним розширенням групи $G$, при цьому проєкція

$\pi \colon G^{*}\to G$

є групою гомоморфізмів та сюр'єктивна. (Структура групи на $G^{\star }$ залежить від вибору відображення тотожного елемента в тотожний елемент $G$.) Наприклад, коли $G^{\star }$ є універсальним накриттям групи $G$, ядро $\pi$ є фундаментальною групою групи $G$, яке, як відомо, абелеве (H-простір). І навпаки, якщо дано групу Лі $G$ та дискретну центральну підгрупу $Z$, факторгрупа $G/Z$ є групою Лі, а $G$ є її накривним простором.

Загальніше, якщо групи $A$, $E$ і $G$ в центральному розширенні є групами Лі та відображення між ними є гомоморфізмами групи Лі, то, якщо алгеброю Лі групи $G$ є ${\mathfrak {g}}$, алгеброю $A$ є ${\mathfrak {a}}$, а алгеброю $E$ є ${\mathfrak {e}}$, то ${\mathfrak {e}}$ є центральним розширенням алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ за допомогою $\mathbf {a}$. У термінології теоретичної фізики генератори алгебри ${\mathfrak {a}}$ називають центральними зарядами. Ці генератори лежать у центрі алгебри ${\mathfrak {e}}$. За теоремою Нетер генератори груп симетрії відповідають величинам, що зберігаються. Їх називають зарядами.

Основні приклади центральних розширень як накривних груп:

• спінорні групи, які двічі накривають спеціальні ортогональні групи, які (в парній розмірності) двічі накривають проєктивну ортогональну групу;
• метаплектичні групи, які двічі накривають симплектичні групи.

Випадок $SL_{2}(\mathbf {R} )$ залучає фундаментальну групу, яка є нескінченною циклічною групою; тут центральне розширення добре відоме з теорії модулярних форм для випадку форм з вагою ${\tfrac {1}{2}}$. Відповідне проєктивне представлення є представленням Вейля, побудованим з перетворення Фур'є, у цьому разі, на дійсній осі. Метаплектичні групи з'являються також у квантовій механіці.

Див. також

• Розширення алгебри Лі
• Розширення кільця
• Алгебра Вірасоро
• HNN-розширення
• Розширення топологічної групи

Література

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ : John Wiley & Sons, Inc, 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
• Маклейн С. Гомология. — М. : Мир, 1966.
• Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
• Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
• Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
• Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
• Morandi P. J. Group Extensions and $H^{3}$.
• Group extensions. Group​Names. Процитовано 14 червня 2019.