У математиці функція Гауса або звичайна гіпергеометрична функція — це спеціальна функція, представлена гіпергеометричним рядом, що включає багато інших спеціальних функцій як часткові або граничні[en] випадки, позначається
. Це розв'язок лінійного звичайного диференціального рівняння (ЗДР) другого порядку. Будь-яке лінійне ЗДР другого порядку з трьома регулярними особливими точками[en] може бути зведене до такого рівняння.
Щодо упорядкованих списків деяких із багатьох тисяч опублікованих тотожностей, що стосуються гіпергеометричної функції, див. оглядові роботи Ерделі зі співавторами (1953)[1] та Ольде Даалхуїса (2010)[2]. На сьогодні невідома система організації всіх цих тотожностей; дійсно, не існує відомого алгоритму, який може породжувати всі тотожності; відома лише низка різних алгоритмів, які породжують різні серії тотожностей. Теорія алгоритмічного виявлення тотожностей залишається актуальною темою дослідження.
Термін "гіпергеометричний ряд" вперше був використаний Джоном Валлісом у його книзі "Arithmetica Infinitorum" в 1655 році.
Гіпергеометричні ряди вивчав Леонард Ейлер, але перше повне та систематичне трактування було проведено Карлом Фрідріхом Гаусом (1813) [3].
Дослідження у дев'ятнатнадцятому столітті включали роботу Ернеста Куммера (1836)[4] та фундаментальну характеристику Бернграда Рімана (1857)[5] гіпергеометричної функції за допомогою диференціального рівняння, яке вона задовольняє.
Ріман показав, що диференціальне рівняння другого порядку для функції , що розглядається на комплексній площині, може бути охарактеризовано (на сфері Рімана) за допомогою трьох регулярних особливих точок[en].
Випадки, коли розв'язки є алгебраїчними функціями, було знайдено Германом Шварцом (список Шварца[en]).
Гіпергеометрична функція — спеціальна функція, що є розв'язком гіпергеометричного рівняння
![{\displaystyle z(1-z){\frac {{\rm {d}}^{2}w}{{\rm {d}}z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {{\rm {d}}w}{{\rm {d}}z}}-abw=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df9841155d68b5e4b5d808eeac67d5831fdee53)
Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою ряду Гауса:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\dfrac {z^{n}}{n!}}={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (b+n)}{\Gamma (c+n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8397b89296739e1325b559a025ff8281ce2a64f)
де
,
,
— параметри, що приймають будь-які дійсні або комплексні значення, а
— комплексна змінна.
Функція
називається гіпергеометричною функцією першого роду.
Гіпергеометрична функція визначається при
за допомогою степеневого ряду
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\dfrac {z^{n}}{n!}}=1+{\dfrac {ab}{c}}{\dfrac {z}{1!}}+{\dfrac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\dfrac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52084d05c6601602cf81ebb9843394fd60633ef7)
Цей ряд буде невизначеним (або нескінченним), якщо
дорівнює цілому недодатному числу. Тут
— (зростаючий) символ Похаммера[en], який визначається наступним чином:
![{\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1,&n=0,\\q(q+1)\cdots (q+n-1),&n>0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc2a4f78f73173881e381bfdfc1f683a8d70c54)
Ряд збігається абсолютно і рівномірно при
; збіжність розповсюджується і на одиничне коло, якщо
; при
збігається в усіх точках одиничного кола, окрім
. Проте існує аналітичне продовження гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола
з розрізом
. Функція
— однозначна аналітична в комплексній площині
з розрізом
. Якщо
або
— нуль або ціле від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція зводиться до полінома:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\dfrac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def52ebdb291c2047de9a92c295d91792091f677)
Якщо
, де
— ціле невід'ємне число, то
. Якщо функцію поділити на значення гамма-функції
, то отримаємо границю:
![{\displaystyle \lim _{c\to -m}{\dfrac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\dfrac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}\,{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe57812ceb6e9b947b6aae6f47a867244944c54)
— найпоширеніший тип узагальнених гіпергеометричних рядів[en]
і його часто позначають просто як
.
Використовуючи тотожність
, можна показати, що
![{\displaystyle {\dfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\dfrac {ab}{c}}\,{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7a9ba33dc2256ef589bab8f2fc4512a13ff91f)
і у загальному випадку
![{\displaystyle {\dfrac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} z^{n}}}\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\dfrac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\,{}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6e9916913d12229df3031922ce9560bbea5848)
У частинному випадку, при
, отримаємо
![{\displaystyle {\dfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\,{}_{2}F_{1}(a,b;a+1;z)={\dfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\,{}_{2}F_{1}(b,a;a+1;z)={\dfrac {a((1-z)^{-b}-{}_{2}F_{1}(a,b;1+a;z))}{z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681cd20dd3e7762718eb1039f69f17b971525673)
Багато загальновідомих математичних функцій можна виразити через гіпергеометричну функцію або через її граничні випадки. Деякі типові приклади:
;
;
;
.
Вироджена гіпергеометрична функція[en] (або функція Куммера) може бути представлена як границя гіпергеометричної функції
![{\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}\left(a,b;c;b^{-1}z\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2e04c944fcd621327988cf5fb30f5110e9c777)
Тому всі функції, які є частинними випадками функції Куммера, такі як функції Бесселя, також можуть бути представлені як границі гіпергеометричних функцій.
Це стосується більшості загальновживаних функцій математичної фізики.
Функції Лежандра — розв'язок диференціального рівняння другого порядку з
регулярними особливими точками, тому їх можна виразити через гіпергеометричну функцію різними способами, наприклад,
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\frac {1-c}{2}}(1-z)^{\frac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de127c287e97c8ac8d6fec691a1b0581a9fbc31)
Деякі ортогональні многочлени, зокрема, поліноми Якобі
і їх частинні випадки: поліноми Лежандра, поліноми Чебишова, поліноми Ґеґенбауера, можна записати у термінах гіпергеометричних функцій за допомогою формули
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\dfrac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b394f3a9406b5c88e99f8768f6f20180e081c6a)
А також інші поліноми, які є частинними випадками: поліноми Кравчука, поліноми Мейкснера[en], поліноми Мейкснера–Поллачека[en].
Еліптичні модулярні функції іноді можна представити як обернені функції відношень гіпергеометричних функцій, аргументи яких
,
,
дорівнюють 1, 1/2, 1/3, … або 0. Наприклад, якщо
![{\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\dfrac {{}_{2}F_{1}\left({\dfrac {1}{2}},{\dfrac {1}{2}};1;1-z\right)}{{}_{2}F_{1}\left({\dfrac {1}{2}},{\dfrac {1}{2}};1;z\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeda4b3ead04d8ffbb1812ec4cf553f6a3942a4)
то
![{\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\dfrac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a88ca8da545577c4db5d966fe91f693bd9a62bd)
— еліптична модулярна функція змінної
.
Неповні бета-функції
пов'язані з гіпергеометричними функціями наступним чином:
![{\displaystyle B_{x}(p,q)={\dfrac {x^{p}}{p}}\,{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b62e8f7628c2cfd79e9c368d79d2e253d881d1)
Повні еліптичні інтеграли
та
можна представити як
![{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02943258a7fbeb9020f4ee7ee7470f525fca890)
![{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21300821ab7dd3b3ff527b3311864dc2611f9a28)
Гіпергеометрична функція є розв'язком гіпергеометричного диференціального рівняння Ейлера
![{\displaystyle z(1-z){\frac {\operatorname {d} ^{2}w}{\operatorname {d} z^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {\operatorname {d} w}{\operatorname {d} z}}-abw=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45583d8783ac69f778b704c735a7118299bbe39)
яке має три регулярні особливі точки[en]: 0, 1 і
.
Узагальнення цього рівняння на три довільні регулярні особливі точки задається диференціальним рівнянням Рімана[en].
Будь-яке диференціальне рівняння другого порядку з трьома регулярними особливими точками може бути зведене до гіпергеометричного диференціального рівняння шляхом заміни змінних.
Розв'язки гіпергеометричного диференціального рівняння будуються за допомогою гіпергеометричного ряду
.
Рівняння має два лінійно незалежних розв'язки.
У кожній з трьох особливих точок 0, 1,
, зазвичай є два спеціальні розв'язки вигляду
, помножені на голоморфну функцію змінної
, де
— один з двох коренів визначального рівняння (однорідного лінійного диференціального рівняння в особливій точці), а
— локальна змінна, що зануляється в регулярній особливій точці.
Це дає
спеціальних розв'язків, як показано нижче.
Якщо
не є цілим недодатним числом, то в околі точки
є два незалежні розв'язки:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408c256b938cb39368545cdc782f73c0b5f791ea)
і, за умови, що
не є цілим числом,
![{\displaystyle z^{1-c}\,{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456e3c6418fc57e731d85da2d9fb698acf62dc23)
Якщо
не є додатним цілим числом
, тоді перший з цих розв'язків не існує, і його слід замінити на
.
Другий розв'язок не існує, якщо
є цілим числом, більшим за 1, і дорівнює першому розв'язку або його заміні, якщо
є будь-яким іншим цілим числом.
Отже, якщо
є цілим числом, то для другого розв'язку необхідно використовувати більш складніше співвідношення, що дорівнюють першому розв'язку помноженому на
плюс інший ряд за степенями
та включає дигамма-функцію.
Детальніше див. Ольде Даалхуїс (2010)[2].
Якщо
не є цілим числом, то в околі
є два незалежних розв'язки:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803f7e141ab27ba091233b2a5d485b2baa8a910d)
і
![{\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4de3b4a1df3b0701c09723824d8962907b9a2dc)
Якщо
не є цілим числом, то в околі
є два незалежних розв'язки:
![{\displaystyle z^{-a}\,{}_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eec267d6eb972fdca038828488084f1571211cb)
і
![{\displaystyle z^{-b}\,{}_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c9fc8c763f5565c75455e500c9e783c822e87c)
Знову ж таки, якщо умови нецілості не виконуються, то існують інші розв'язки, які є більш складними.
Будь-які 3 із вищезазначених 6 розв'язків задовольняють лінійне співвідношення, оскільки простір розв'язків є двовимірним, що дає
лінійних співвідношень між ними, які називаються формулами зв'язку.
Рівняння Фукса[en] другого порядку з
особливими точками має групу симетрій, що діє (проєктивно) на його розв'язках, і яка ізоморфна групі Коксетера
порядку
.
Отже, для гіпергеометричного рівняння
така група має порядок 24 та ізоморфна симетричній групі на 4 точках, і була вперше описана Куммером.
Ізоморфізм з симетричною групою є несподіваним і не має аналога для більш ніж 3 особливих точок, і іноді краще думати про цю групу як про продовження симетричної групи на 3 точки (яка діє як перестановки 3-х особливих точок) за допомогою 4-групи Клейна (елементи якої змінюють знаки різниць експонент у парній кількості особливих точок).
Група Куммера з 24 перетворень породжується трьома перетвореннями, що перетворють розв'язок
до одного з виглядів:
![{\displaystyle (1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\dfrac {z}{z-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f516e7e381ae31d002cc5c0b3c30867ad0d324d)
![{\displaystyle F(a,b;1+a+b-c;1-z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42aae8efcc0d7b0e235876a70eddc22851e18ec6)
![{\displaystyle (1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\dfrac {z}{z-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b85e967453a89f3218fee86a5265b7a850775ce)
які відповідають транспозиціям (12), (23) та (34) при ізоморфізмі з симетричною групою на 4 точках 1, 2, 3, 4.
(Перший та третій розв'язок з них насправді дорівнюють
, тоді як другий є незалежним розв'язком диференціального рівняння.)
Застосування
перетворень Куммера до гіпергеометричної функції дає
розв'язків, що відповідають кожному з 2 можливих експонент у кожній з 3 особливих точок, кожний з яких з'являється 4 рази з огляду на тотожності
(перетворення Ейлера);
(перетворення Пфаффа);
Гіпергеометричне диференціальне рівняння можна звести до
-форми
![{\displaystyle {\dfrac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} z^{2}}}+Q(z)u(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd6d23306a14f35d7d70a5095f3c4c94b964ac1)
за допомогою заміни
та виключенням першої похідної.
Отримуємо
![{\displaystyle Q={\dfrac {z^{2}\left[1-(a-b)^{2}\right]+z\left[2c(a+b-1)-4ab\right]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8154413e2666f96e2ad48eb312bb18f299700be)
а
визначається як розв'язок диференціального рівняння
![{\displaystyle {\dfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\log v(z)=-{\dfrac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\dfrac {c}{2z}}-{\dfrac {1+a+b-c}{2(z-1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb25acefaf24219665abbe4c408122f462211b3)
тобто
![{\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eec0335669057f3631eb6360ccf15850d7bc050)
-форма є важливою через її зв'язок з похідною Шварца[en] (Hille 1976[6], с. 307-401).
Трикутні відображення Шварца або
-функції Шварца є відношеннями пар розв'язків:
![{\displaystyle s_{k}(z)={\dfrac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5101bf6856ecf30d9f9788f290f887154f7b6354)
де
— одна з точок 0, 1,
.
Іноді також використовується позначення
![{\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9218df20f791496a8494a63a2631303f83393f62)
Зауважимо, що коефіцієнти зв'язку стають перетвореннями Мебіуса при трикутних відображеннях.
Кожне трикутне відображення є регулярним[en] при
відповідно до
![{\displaystyle s_{0}(z)=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0269ef55ae12880f63dcef3d9d9f58b8fc54b08)
![{\displaystyle s_{1}(z)=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667e8166e3e3b754612c0259ebe5fc98b30807ea)
і
![{\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }\left(1+{\mathcal {O}}\left({\tfrac {1}{z}}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fdcd2ca9ea09fddc64e266d9f16ad0326918714)
У частинному випадку з дійсними
,
та
, причому
,
-відображення є конформними відображеннями верхньої півплощини
у трикутники на сфері Рімана, що обмежені дугами кіл.
Це відображення є узагальненням[en] відображення Шварца – Крістоффеля[en] у трикутники з круговими дугами.
Особливі точки 0, 1 і
відображаються у вершини трикутника.
Кути трикутника дорівнюють
,
та
відповідно.
Крім того, у випадку, якщо
,
та
для цілих чисел
,
,
, то трикутники замощують сферу, комплексну площину або верхню напівплощину відповідно, якщо
,
або
; а
-відображення — обернені функції автоморфних функцій[en] для групи трикутника[en]
.
Монодромія гіпергеометричного рівняння описує як змінюються фундаментальні розв'язки, якщо їх аналітично продовжувати у
–площині навколо траєкторій, що повертаються до тієї самої точки.
Тобто, коли траєкторія обертається навколо сингулярної точки гіпергеометричної функції
, то значення розв'язків у кінцевій точці буде відрізнятися від значення у початковій точці.
Два фундаментальних розв'язки гіпергеометричного рівняння пов'язані між собою лінійним перетворенням; таким чином, монодромія є відображенням (груповий гомоморфізм):
![{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbb {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6551613898aac43761b164b1f23245d246e55d06)
де
— фундаментальна група.
Іншими словами, монодромія — це двовимірне лінійне представлення фундаментальної групи.
Група монодромії рівняння є образом цього відображення, тобто групою, породженою матрицями монодромії.
Представлення монодромії фундаментальної групи можна обчислити явно у термінах експонент в особливих точках[7]. Якщо
,
та
є експонентами в 0, 1 та
, то, вибираючи
в околі 0, петлі навколо 0 та 1 мають матриці монодромії наступного вигляду:
та ![{\displaystyle \qquad g_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\mu {\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '}}{\mu -1}}&{\frac {\mu ({\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '})}{(\mu -1)^{2}}}\\{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '}-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }&{\frac {\mu {\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '}-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }}{\mu -1}}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184ec554cd818f5da98787ba4d82b74b9b8306f6)
де
![{\displaystyle \mu ={\frac {\sin \pi (\alpha +\beta '+\gamma ')\sin \pi (\alpha '+\beta +\gamma ')}{\sin \pi (\alpha '+\beta '+\gamma ')\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3f35ef4d439beea8bd9a9ccbcd8eb61d8bcd21)
Якщо
,
,
— не цілі раціональні числа зі знаменниками
,
,
, то група монодромії є скінченною тоді й лише тоді, коли
, див. список Шварца[en] або алгоритм Ковачича[en].
Якщо
— це бета-функція, то має місце формула Ейлера:
![{\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,{\rm {d}}x,\qquad \operatorname {Re} (c)>\operatorname {Re} (b)>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b3a4289a313796d272a2a53dcf6f9827cc05b8)
за умови, що
не є дійсним числом, таке що воно більше або дорівнює 1 (при
чи
за умови визначеності обох сторін.
Розкладаючи
у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення. Якщо
є дійсним числом, більшим або рівним
, то слід використовувати аналітичне продовження, оскільки
дорівнює нулю в певній точці визначення інтеграла, тому значення інтегралу може бути погано визначеним.
Цей результат було отримано Ейлером в 1748 р. з використанням гіпергеометричних перетворень Ейлера та Пфаффа.
Інші представлення, що відповідають іншим головним гілкам[en], даються для того ж самого підінтегрального виразу, але як шлях інтегрування обирається замкнений цикл Похаммера[en], що обходить особливості в різних порядках.
Такі шляхи відповідають дії монодромії.
Барнс використовував теорію лишків для оцінки інтеграла Барнса[en]:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{-{\rm {i}}\infty }^{{\rm {i}}\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,\operatorname {d} s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12cb6b72fa9e3c2e8b7d28ac50cbb77560db11d)
як
![{\displaystyle {\dfrac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ceaaeee60ad15778e6704f04936ab88ee98783)
де контур обрано так, щоб відокремити полюси
від полюсів
.
Це справедливо до тих пір, поки
не є невід'ємним дійсним числом.
Гіпергеометричну функцію Гауса можна записати у вигляді перетворення Джона[en] (Gelfand, Gindikin & Graev 2003[8], 2.1.2).
Шість функцій
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd87121a696beffffe2d24a798bfdef6c9de096)
називаються суміжними з гіпергеометричною функцією
. Ця функція визначається як сума степеневого ряду
де
параметри з
Якщо
та
то справедлива формула Ейлера
![{\displaystyle F(a,b;c;z)={\frac {1}{B(b,c-b)}}\int _{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-tz)^{-a}{\rm {d}}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dce7b1f1453b687220fe118cdcf708ce1b100b)
З цієї формули випливає (див. Гамма-функція)
![{\displaystyle \Gamma (c-a)\Gamma (c-b)\lim _{z\to 1-0}F(a,b;c;z)=\Gamma (c)\Gamma (c-a-b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532546400d6a336ecd7f07c733549781a8666be7)
за умови
Функція
є лінійною комбінацією будь-яких двох суміжних з нею функцій. 15 формул такого типа вперше були знайдені Гаусом. Вони одержуються при порівнянні правих частин:
![{\displaystyle {\begin{aligned}z{\dfrac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} z}}=z{\dfrac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)&=a(F(a+)-F)=\\&=b(F(b+)-F)=\\&=(c-1)(F(c-)-F)=\\&={\dfrac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}=\\&={\dfrac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}=\\&=z{\dfrac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad543e248b2642884e7e47374a1aef96cba85e7f)
У рівностях використано позначення
,
і т. д.
Асоційовані функції
, де
,
,
— цілі числа, можуть бути одержані повторними застосуваннями співвідношень Гауса. Мають місце формули диференціювання
![{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}F(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}F(a+n,b+n;c+n;z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbbde2e9296495ddfbdc8a40db96b043733c9fa)
Гіпергеометричне рівняння має 24 розв'язки виду
![{\displaystyle z^{\rho }(1-z)^{\sigma }F(a',b';c';z'),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3322f2fabddbb1f0f124cd9408e112e2d9eb5619)
де
— лінійні функції
, а
і
пов'язані дробово-лінійним перетворенням. Будь-які три розв'язки лінійно залежні. Існують квадратичні, кубічні і перетворення вищого порядку.
Гаус використовував суміжні співвідношення, щоб дати декілька способів запису частки двох гіпергеометричних функцій у вигляді неперервного дробу, наприклад,
![{\displaystyle {\dfrac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\dfrac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\dfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\dfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\dfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98092fa156413d61062a95bafff49b99b503ce35)
Формули перетворення пов'язують дві гіпергеометричні функції при різних значеннях аргументу
.
Перетворення Ейлера
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b0ce8971d3c7cd5000c124f25a528cf70d63c5)
є комбінацією двох перетворень Пфаффа:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb63b18516703985618874c841cb70d01240a9c9)
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c5cac5bec432889dbf7a7ecf3fe71588761b3e)
які в свою чергу випливають з інтегрального представлення Ейлера.
Про узагальнення першого та другого перетворень Ейлера див. Раті й Паріс (2007)[9] та Раха і Раті (2011)[10].
Також гіпергеометричну функцію можна записати як лінійну комбінацію:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)+\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec2020be82a171b9f666e66a5fe05d42d48adf8)
Якщо два з чисел
,
,
,
,
,
рівні або один з них дорівнює 1/2, то існує квадратичне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням
, пов'язаним квадратним рівнянням.
Перші приклади отримано Куммером (1836)[4], а повний перелік — Гурсом (1881)[11]. Типовим прикладом є
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a,b-{\frac {1}{2}}a;b+{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b4d23847a473c6baf1bb525c142797f02e7461)
Якщо
,
,
відрізняються за знаком, або два з них дорівнюють
або
, то існує кубічне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням
, пов'язаним кубічним рівнянням.
Перші приклади отримано Гурсом (1881)[11].
Типовим прикладом є
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {3}{2}}a,{\frac {1}{2}}(3a-1);a+{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\frac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a869ce6ca828949f1e5fc3e4305447b45b38423)
Існують також деякі перетворення 4 та 6 степенів.
Перетворення інших степенів існують лише в тому випадку, якщо
,
та
є певними раціональними числами (Відунас 2005[12]). Наприклад,
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{8}};{\frac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{48}},{\frac {17}{48}};{\frac {7}{8}};{\frac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027957323d47be418c930e2bc2079ab8783f7e23)
Перелік формул підсумовування в спеціальних точках див. в монографії Слейтер (1966, додаток ІІІ)[13], більшість з яких вперше з'являються в роботі Бейлі (1935)[14].
Гессель та Стентон (1982)[15] дають подальші оцінки в більшій кількості точок.
Коепф (1995)[16] показав як більшість із цих тотожностей можна перевірити за допомогою комп'ютерних алгоритмів.
Теорема про підсумовування Гауса, названа на честь Карла Фрідріха Гауса, є тотожністю
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \operatorname {Re} (c)>\operatorname {Re} (a+b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ef21c865677b4f864243e98618254be6d8405b)
яка випливає з інтегральної формули Ейлера, якщо взяти
.
Вона включає тотожність Вандермонда як частинний випадок.
Для частинного випадку, де
,
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4520b48da572539317099140c281b98ed33509)
Формула Дугалла[en] узагальнює це співвідношення до двостороннього гіпергеометричного ряду[en] при
.
Є багато випадків, коли гіпергеометричні функції можна обчислити при
, використовуючи квадратичне перетворення для заміни
на
, а потім використовуючи теорему Гауса для обчислення результату.
Типовим прикладом є теорема Куммера, яка була названа на честь Ернеста Куммера:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{2}}a\right)}{\Gamma (1+a)\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{2}}a-b\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a157e187cc22cb3470b1238ddc2ac3c9764bb3d)
яка випливає з квадратичних перетворень Куммера
![{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)=\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7c61fc15de71ebb459afec6cbc34b264c5849a)
і теореми Гауса, якщо покласти
в першій тотожності.
Про узагальнення підсумовування Куммера див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].
Друга теорема Гауса про підсумовування:
![{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5486d0ac36c6d17673055c51b17f0330a7971459)
Теорема Бейлі:
![{\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19237a5b8cde4f8d4f5f9f45fd8536d47b9f27af)
Щодо узагальнення другої теореми Гауса про підсумовування та теореми Бейлі про підсумовування див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].
Існує багато інших формул, що представляють гіпергеометричну функцію у вигляді алгебраїчного числа для спеціальних раціональних значень параметрів, деякі з яких наведені в роботах Гесселя і Стентона (1982)[15] та Коепфа (1995)[16].
Деякі типові приклади:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67164d624f704492bd81f2c28717915066fc29b5)
які можна представити як
![{\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806ab08836c2c5bf14ad509e5f2899a14a355b03)
де
, а
— (узагальнений) поліном Чебишова.
Асимптотична поведінка гіпергеометричної функції
[ред. | ред. код]
При великих значеннях
гіпергеометрична функція повністю описується з допомогою формул, що дають аналітичне продовження в околі точки
. Якщо
— фіксовані числа і
достатньо велике
,
, то при
:
![{\displaystyle F(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}+O\left(|c|^{-k+1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a194ab2b7560500b28e4a0bd0d7400a3398ad8)
При
є аналогічний вираз.
Представлення функцій через гіпергеометричну функцію
[ред. | ред. код]
![{\displaystyle \left(1+x\right)^{n}=F\left(-n,\beta ,\beta ;-x\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3425ea774027f4e9466183b1544f91c45e82acf8)
![{\displaystyle x^{n}=F\left(-n,\beta ,\beta ;1-x\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dc40df174224842d54a39b69192a53c1c9e9b3)
![{\displaystyle {1 \over x}\ln(1+x)=F(1,1,2;-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4afc6bc6021c241299aa39e3dba97ba0dc22f10)
![{\displaystyle {\rm {e}}^{x}=\lim _{n\to \infty }F\left(1,n,1;{x \over n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a567124cb68cc8073a73ce57a806a76b51c449c6)
![{\displaystyle \cos x=\lim _{\alpha ,\;\beta \to \infty }F\left(\alpha ,\beta ,{\frac {1}{2}};-{\frac {x^{2}}{4\alpha \beta }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5ecc8360a3f057ea7c8e1e2f7a41befcf9dccd)
![{\displaystyle \cosh x=\lim _{\alpha ,\;\beta \to \infty }F\left(\alpha ,\beta ,{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4\alpha \beta }\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57f8be3a021a70c7a558cea60af41efa9ae0d86)
- Повний еліптичний інтеграл першого роду:
![{\displaystyle K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {{\rm {d}}\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}={\frac {\pi }{2}}F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1;k^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7311d570324759860057ef7faa3d71ac793be90f)
- Повний еліптичний інтеграл другого роду:
![{\displaystyle E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,{\rm {d}}\varphi ={\frac {\pi }{2}}F\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1;k^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d45bdd08c95332d855665737e2af019a0fbb94)
- Многочлени Лежандра:
![{\displaystyle P_{n}(x)=F\left(n+1,-n,1;{\frac {1-x}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b431673ee23f8b4597f3131eee5063f196138e)
- Приєднана функція Лежандра:
![{\displaystyle P_{n,\;m}(x)=\left(1-x^{2}\right)^{\frac {m}{2}}{\Gamma (n+m+1) \over 2^{m}\Gamma (n-m+1)\Gamma (m+1)}F\left(n+m+1,m-n,m+1;{\frac {1-x}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfdd7fb6bfb61f7489eeb669d629163132db16a)
- Функції Бесселя:
![{\displaystyle J_{\nu }(x)=\lim _{\alpha ,\;\beta \to \infty }\left[{\frac {\left({\dfrac {x}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}F\left(\alpha ,\beta ,\nu +1;-{\frac {x^{2}}{4\alpha \beta }}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec37b0ec608784e21bc3749855110e2a04ef9409)
- Ряд Аппеля[en], узагальнення гіпергеометричного ряду двох змінних
- Основний гіпергеометричний ряд[en], де відношення членів є періодичною функцією індексу
- Двосторонній гіпергеометричний ряд[en]
, що подібний до узагальненого гіпергеометричного ряду, але підсумовування за всіма цілими числами
- Біноміальний ряд
![{\displaystyle {}_{1}F_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce76ab35dce494e3a2c8afd7e42cdbe9608a1fcc)
- Вироджений гіпергеометричний ряд[en]
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dcecf5e96c58a11dc992f0cc996ffca378e93c3)
- Еліптичний гіпергеометричний ряд[en], де відношення доданків є еліптичною функцією індексу
- Гіпергеометричний інтеграл Ейлера, інтегральне подання для
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7506f01afc6742d7168ab0cb201337ca2a216ea5)
- H-функція Фокса[en], узагальнення
-функції Мейєра
- Функція Фокса–Райта[en], узагальнення узагальненої гіпергеометричної функції[en]
- Розв'язок Фробеніуса гіпергеометричного рівняння[en]
- Загальна гіпергеометрична функція[en], введена І.М. Гельфандом
- Узагальнений гіпергеометричний ряд[en]
, де відношення доданків є раціональною функцією індексу
- Геометричний ряд, де відношення членів є сталою
- Функція Гойна[en], розв'язки ЗДР другого порядку з чотирма регулярними особливими точками
- Функція Горна[en], 34 різні збіжні гіпергеометричні ряди з двома змінними
- Ряд Гумберта[en], 7 гіпергеометричні функції двох змінних
- Гіпергеометричний розподіл, дискретний розподіл ймовірностей
- Гіпергеометрична функція матричного аргументу[en], багатовимірне узагальнення гіпергеометричного ряду
- Функція Кампе де Феріє[en], гіпергеометричний ряд двох змінних
- Гіпергеометричний ряд Лаурічелла[en], гіпергеометричний ряд трьох змінних
- E–функція МакРоберта[en], узагальнення узагальненого гіпергеометричного ряду
на випадку ![{\displaystyle p>q+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1625cf15af1613b71e783e6aeddce34566c2b2bf)
- G-функція Мейєра, узагальнення узагальненого гіпергеометричного ряду
на випадку ![{\displaystyle p>q+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1625cf15af1613b71e783e6aeddce34566c2b2bf)
- Модулярний гіпергеометричний ряд[en], скінченна форма еліптичного гіпергеометричного ряду
- Тета гіпергеометричний ряд[en], спеціальний випадок еліптичного гіпергеометричного ряду
- Конформний блок Вірасоро[en], спеціальна функція в двовимірній конформній теорії поля[en], яка в деяких випадках зводиться до гіпергеометричної функції
- Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:«Высшая школа», 1962
- Бейтмен Г., Эрдейи А.:Высшие трансцендентные функции, том 1, 2-е изд. — М.:«Наука», 1973
- Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR 168895
- Beukers, Frits (2002), Gauss' hypergeometric function. (lecture notes reviewing basics, as well as triangle maps and monodromy)
- Gasper, George & Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4
- Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
- Ince, E. L. (1944). Ordinary Differential Equations. Dover Publications
- Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in German). 39. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN978-3-540-10455-1. MR0668700
- Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (2007). "Section 6.13. Hypergeometric Functions". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8
- Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
- Wall, H.S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company, Inc.
- Whittaker, E.T. & Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press
- Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. MR 1453580
- ↑ Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz and Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol. I. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR 0058756
- ↑ а б Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "Hypergeometric function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- ↑ Gauss, Carl Friederich (1813). "Disquisitiones generales circa seriem infinitam
". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (in Latin). Göttingen. 2.
- ↑ а б Kummer, Ernst Eduard (1836). "Über die hypergeometrische Reihe
". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 15: 39-83, 127-172. ISSN 0075-4102.
- ↑ Riemann, Bernhard (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe
darstellbaren Functionen". Abhandlungen der Wissenschaften zu Göttingen (in German). Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3-22.
- ↑ Hille, Einar (1976). Ordinary differential equations in the complex domain.Dover. ISBN 0-486-69620-0.
- ↑ Ince 1944, pp. 393–393
- ↑ Gelfand, I. M.; Gindikin, S.G. & Graev, M.I. (2003) [2000]. Selected topics in integral geometry. Translations of Mathematical Monographs. 220. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2932-5. MR 2000133.
- ↑ Rathie, Arjun K.; Paris, R.B. (2007). "An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series". Far East J. Math. Sci. 27 (1): 43–48.
- ↑ Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). "Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem". Bull. Korean Math. Soc. 48 (1): 151–156.
- ↑ а б Goursat, Édouard (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique". Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure (in French). 10: 3–142. Retrieved 2008-10-16.
- ↑ Vidunas, Raimundas (2005). "Transformations of some Gauss hypergeometric functions". Journal of Symbolic Computation. 178: 473–487.
- ↑ Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688.
- ↑ Bailey, W.N. (1935). Generalized Hypergeometric Series. Cambridge University Press. Archived from the original on 2017-06-24. Retrieved 2016-07-23.
- ↑ а б Gessel, Ira & Stanton, Dennis (1982). "Strange evaluations of hypergeometric series". SIAM Journal on Mathematical Analysis. 13 (2): 295–308. ISSN 0036-1410. MR 0647127.
- ↑ а б Koepf, Wolfram (1995). "Algorithms for m-fold hypergeometric summation". Journal of Symbolic Computation. 20 (4): 399–417. ISSN 0747-7171. MR 1384455.
- ↑ а б Lavoie, J. L.; Grondin, F.; Rathie, A.K. (1996). "Generalizations of Whipple's theorem on the sum of a
". J. Comput. Appl. Math. 72: 293-300.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Hypergeometric function, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions [Архівовано 7 травня 2021 у Wayback Machine.] (University of Oxford, MSc Thesis)
- Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
- Weisstein, Eric W. Hypergeometric Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.