Гіпергеометричний розподіл

Гіпергеометричний розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}\,$
Носій функції	$\scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,$
Розподіл імовірностей	${{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
Середнє	$nm \over N$
Мода	$\left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Дисперсія	$n(m/N)(1-m/N)(N-n) \over (N-1)$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Коефіцієнт ексцесу	$\left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]$ $\cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.$ $+\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]$
Твірна функція моментів (mgf)	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
Характеристична функція	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

Гіпергеометричний розподіл в теорії імовірності моделює кількість успішних вибірок без повернення зі скінченної сукупності.

	витягнуті	не витягнуті	всього
з дефектом	k	D − k	D
без дефекта	n − k	N + k − n − D	N − D
всього	n	N − n	N

Типовий приклад представлений у попередній таблиці: дано сукупність N об'єктів, з яких D мають дефект. Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність того, що у вибірці з n різних об'єктів, витягнутих із сукупності, рівно k об'єктів є бракованими. Загалом, якщо випадкова величина X відповідає гіпергеометричному розподілу з параметрами N, D та n, то ймовірність отримання рівно k успіхів визначається формулою:

$f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$

Ця ймовірність додатна, коли k лежить на проміжку між max{ 0, D + n − N } та min{ n, D }. Наведену формулу можна трактувати так: існує $N \choose n$ способів заповнити залишок вибірки (без повернення). Є $D \choose k$ способів вибрати k бракованих об'єктів та ${N-D} \choose {n-k}$ способів заповнити залишок вибірки об'єктами без дефектів. У разі, коли розмір популяції є більшим, ніж розмір вибірки, гіпергеометричний розподіл добре апроксимується біноміальним розподілом з параметрами n (кількість випробувань) та p = D / N (ймовірність успіху в одному випробуванні).

Визначення

Нехай є скінченна сукупність, яка складається з $N$ елементів. Припустимо, що $n$ із них мають потрібну нам властивість. Випадковим чином із загальної сукупності вибирається група з $D$ елементів. Нехай $Y$ — випадкова величина, що дорівнює кількості вибраних елементів, які мають потрібну властивість. Тоді функція ймовірностей $Y$ має вигляд:

$p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {C_{D}^{k}\,C_{N-D}^{n-k}}{C_{N}^{n}}}$,

де $C_{n}^{k}\equiv {n \choose k}\equiv {\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$ позначає біноміальний коефіцієнт. Пишемо: $Y\sim \mathrm {HG} (D,N,n)$.

Моменти

Математичне сподівання $\mathbb {E} [Y]={\frac {nD}{N}}$,

Дисперсія $\mathrm {D} [Y]={n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}$.

Приклади застосування

Класичним застосуванням гіпергеометричного розподілу є вибірка без повернення. Розглянемо урну з двома типами куль: чорними і білими. Визначимо витягнення білої кульки як успіх, а чорної як невдачу. Якщо N є числом всіх кульок в урні, а D - число білих кульок, то N − D число чорних кульок.

Тепер припустимо, що в урні знаходиться 5 білих і 45 чорних кульок. Перебуваючи біля урни, ви закриваєте очі й витягуєте 10 кульок. Яка ймовірність того, що витягнуто рівно 4 білі кульки? Задача описується в наступній таблиці:

	витягнуті	не витягнуті	завжди
білі кульки	4 (k)	1 = 5 − 4 (D − k)	5 (D)
чорні кульки	6 = 10 − 4 (n − k)	39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всього	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Ймовірність $\mathbb {P} (k=x)$ того, що будуть витягнені рівно x білих кульок (= кількості успіхів), може бути обчисленою за формулою:

$\mathbb {P} (k=x)=f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.$

Звідси в нашому прикладі (x = 4), отримаємо:

$\mathbb {P} (k=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}=0.003964583\dots .$

Таким чином, ймовірність витягнути рівно 4 білі кульки досить мала (приблизно 0.004). Це означає , що при проведенні експеримента (витягненні 10 кульок з урни з 50 кульками без повернення) 1000 раз ми розраховуємо отримати вищезазначений результат 4 рази. Що стосується ймовірності витягнути 5 білих кульок, то інтуїтивно зрозуміло, що вона буде менша, ніж імовірність витягнути 4 білі кульки. Давайте підрахуємо цю ймовірність.

	витягнуті	не витягнуті	всього
білі кульки	5 (k)	0 = 5 − 5 (D − k)	5 (D)
чорні кульки	5 = 10 − 5 (n − k)	40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всього	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Таким чином, ми отримуємо ймовірність:

$\mathbb {P} (k=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}=0.0001189375\dots ,$

Симетричність

$f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}=f(n-k;N,N-D,n)$

Ця симетричність стає зрозумілою, коли перефарбувати білі кульки в чорні й навпаки. Таким чином, білі й чорні кульки просто міняються ролями.

$f(k;N,D,n)=f(k;N,n,D)$

Ця симетричність стає зрозумілою, коли замість виймання ви позначаєте кульки, які б вийняли. Обидва вирази дають ймовірність того, що рівно $k$ кульок чорні й позначені як вийняті.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай $X\sim \mathrm {HG} (m,N,n)$ та $p=m/N$.

• Якщо $n=1$, то $X$ має розподіл Бернуллі з параметром $p$.

• Нехай випадкова величина $Y$ має біноміальний розподіл з параметрами $n$ та $p$; вона моделює кількість успіхів в аналогічній задачі з поверненням. Коли $N$ та $m$ досить великі порівняно з $n$, а також $p$ не є близьким до 0 чи 1 числом, тоді $X$ та $Y$ мають подібні розподіли, тобто $\mathbb {P} (X\leq k)\approx \mathbb {P} (Y\leq k)$.

• Якщо $n$ велике, $N$ та $m$ великі порівняно з $n$, а $p$ не є близьким до 0 чи 1, то

$\mathbb {P} (X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),$

де $\Phi$ - функція розподілу стандартного нормального розподілу.

• Якщо ймовірності витягнути білу чи чорну кулі не рівні між собою, (наприклад, внаслідок різної величини), то $X$ має нецентральний гіпергеометричний розподіл.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)