Подвійне число Мерсенна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці подвійне число Мерсенна — це число Мерсенна у формі

де p є простим.

Приклади

[ред. | ред. код]

Перші чотири члени послідовності подвійних чисел Мерсенна є[1] (послідовність A077586 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

Подвійні прості числа Мерсенна

[ред. | ред. код]

Подвійне число Мерсенна, яке є простим, називається подвійним простим числом. Оскільки число Мерсенна Mp може бути простим, лише якщо p є простим (див. просте число Мерсенна[en] для доказу), подвійне число Мерсенна Число може бути простим, лише якщо Mp саме по собі є простим числом Мерсенна. Для перших значень p, для яких Mp є простим, , як відомо, просте для p = 2, 3, 5, 7, тоді як явні дільники були знайдені для p = 13, 17, 19 та 31

Розклад
2 3 просте 7
3 7 просте 127
5 31 просте 2147483647
7 127 просте 170141183460469231731687303715884105727
11 не просте не просте 47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × …
13 8191 не просте 338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × …
17 131071 не просте 231733529 × 64296354767 × …
19 524287 не просте 62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × …
23 не просте не просте 2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × …
29 не просте не просте 1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × …
31 2147483647 не просте 295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × …
37 не просте не просте
41 не просте не просте
43 не просте не просте
47 не просте не просте
53 не просте не просте
59 не просте не просте
61 2305843009213693951 невідомо

Таким чином, найменшим кандидатом на наступне подвійне просте число Мерсенна є , або 22305843009213693951 − 1. Будучи приблизно 1,695× 10694127911065419641, це число занадто велике для будь-якого відомого на даний момент теста простоти. У нього немає основного дільника нижче 4 × 1033.[2] Є імовірність, що немає інших подвійних простих чисел Мерсенна, крім чотирьох відомих.[1][3]

Найменшими простими множниками (де p є n-им простим) є :7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, … (наступний терм > 4 × 1033) (послідовність A309130 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Гіпотеза про число Каталана–Мерсенна

[ред. | ред. код]

Рекурсивно визначена послідовність

називається послідовністю чисел Каталана-Мерсенна.[4] Першими членами послідовності є (послідовність A007013 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

Ежен Шарль Каталан[en] відкрив цю послідовність після відкриття простоти Едуаром Люка у 1876.[1][5] Каталан припустив, що вони є простими «до певної межі». Хоча перші п'ять членів є простими, жодні відомі методи не можуть довести, що будь-які подальші члени є простими (у будь-який розумний час) просто тому, що вони занадто великі. Однак, якщо не є простим, є шанс виявити це, обчисливши за невеликим простим модулем (з використанням рекурсивного піднесення до степеня по модулю[en]). Якщо отриманий залишок дорівнює нулю, представляє дільник і, це таким чином, спростує його простоту. Оскільки є числом Мерсенна, такий простий множник мав би мати вигляд . Крім того, оскільки є складеним, коли є складеним, виявлення складеного члена в послідовності виключає можливість будь-яких інших простих чисел в послідовності.

У масовій культурі

[ред. | ред. код]

У фільмі Futurama Звір з мільярдом спин, подвійне число Мерсенна коротко видно у «елементарному доказі гіпотези Гольдбаха ». У фільмі це число відоме як «марсіанське просте».

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б в Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
  2. Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 [Архівовано 15 лютого 2009 у Wayback Machine.]. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(261 − 1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22.
  3. I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]
  4. Weisstein, Eric W. Catalan-Mersenne Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  5. Questions proposées. Nouvelle correspondance mathématique. 2: 94—96. 1876. (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92:
    Prouver que 261 − 1 et 2127 − 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*).
    The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows:
    (*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 22 − 1, 23 − 1, 27 − 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2n − 1 est un nombre premier p, 2p − 1 est un nombre premier p', 2p' − 1 est un nombre premier p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2n + 1 est un nombre premier. (E. C.)

Джерела

[ред. | ред. код]