Число Вудала
В теорії чисел число Вудала (Wn) — будь-яке натуральне число виду
для деякого натурального n. Кілька перших чисел Вудала:
- 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … послідовність A003261 в OEIS.
Числа Вудала були вперше вивчені Аланом Дж. Канінґемом[en] і Г. Дж. Вудалом[en] 1917 року, натхнені ранішими дослідженнями Джеймсом Калленом[en] подібним чином визначених чисел Каллена. Числа Вудала дивним чином виявилися в теоремі Гудштейна.
 |
Нерозв'язана проблема математики: Чи існує нескінченно багато простих чисел Вудала? (більше нерозв'язаних проблем математики)
|
Числа Вудала, які є простими числами, називаються простими числами Вудала. Кілька перших показників n, для яких відповідні числа Вудала Wn прості:
- 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … послідовність A002234 в OEIS.
Самі ж прості числа Вудала утворюють послідовність:
- 7, 23, 383, 32212254719, … послідовність A050918 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
1976 року Крістофер Гулі[en] показав, що майже всі числа Каллена складені. Доведення Крістофера Гулі переробив математик Хіромі Суяма щоб показати, що воно правильне для будь-якої послідовності чисел , де a і b - цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Припускають, що існує нескінченно багато простих чисел Вудала. Станом на жовтень 2018 року найбільше відоме просте число Вудала — .[1] Воно має 5122515 цифр і знайдене Дієго Бертолотті (Diego Bertolotti) 2018 року в проєкті розподілених обчислень PrimeGrid[2].
Подібно до чисел Каллена, числа Вудала мають багато властивостей подільності. Наприклад, якщо p просте число, p ділить
- якщо символ Якобі дорівнює +1 і
- якщо символ Якобі дорівнює -1.[джерело?]
Узагальнене число Вудала визначається як число виду , де n+2>b. Якщо просте число можна записати в такому вигляді, його називають узагальненим простим числом Вудала.
Найменше n для якого n × bn − 1 є простим[3]
- 3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, … послідовність A240235 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
| b | значення n для якого n × bn — 1 є простим (ці n перевірені до 350000) | послідовність OEIS |
| 1 | 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (всі прості плюс 1) |  A008864
|
| 2 | 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, … | A002234
|
| 3 | 1, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, … | A006553
|
| 4 | 1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, … | A086661
|
| 5 | 8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, … | A059676
|
| 6 | 1, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, … | A059675
|
| 7 | 2, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, … | A242200
|
| 8 | 1, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, … | A242201
|
| 9 | 10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, … | A242202
|
| 10 | 2, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, … | A059671
|
| 11 | 2, 8, 252, 1184, 1308, … | A299374
|
| 12 | 1, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, … | A299375
|
| 13 | 2, 6, 563528, … | A299376
|
| 14 | 1, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, … | A299377
|
| 15 | 2, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, … | A299378
|
| 16 | 167, 189, 639, … | A299379
|
| 17 | 2, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, … | A299380
|
| 18 | 1, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, … | A299381
|
| 19 | 12, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, … | A299382
|
| 20 | 1, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, … | A299383
|
| 21 | 2, 18, 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, … | |
| 22 | 2, 5, 140, 158, 263, 795, 992, 341351, … | |
| 23 | 29028, … | |
| 24 | 1, 2, 5, 12, 124, 1483, 22075, 29673, 64593, … | |
| 25 | 2, 68, 104, 450, … | |
| 26 | 3, 8, 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, … | |
| 27 | 10, 18, 20, 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, … | |
| 28 | 2, 5, 6, 12, 20, 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, … | |
| 29 | 26850, 237438, 272970, … | |
| 30 | 1, 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, … |
Станом на жовтень 2018, найбільше відоме узагальнене просте число Вудала дорівнює 17016602 × 217016602 − 1.
- ↑ The Prime Database: 8508301*2^17016603-1, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database
- ↑ PrimeGrid, Announcement of 17016602*2^17016602 - 1 (PDF).
- ↑ List of generalized Woodall primes base 3 to 10000
- Прості числа Мерсенна — прості числа виду 2n − 1.
- Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (вид. 3rd), New York: Springer Verlag, с. section B20, ISBN 0-387-20860-7
- Keller, Wilfrid (1995), New Cullen Primes (PDF), Mathematics of Computation[en], 64 (212): 1733—1741
- Caldwell, Chris, The Top Twenty: Woodall Primes, The Prime Pages[en], процитовано 29 грудня 2007
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: Woodall number at The Prime Pages.
- Weisstein, Eric W. Woodall number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Steven Harvey, List of Generalized Woodall простих чисел.
- Paul Leyland, Generalized Cullen and Numbers Woodall