Скейн-співвідношення

Центральне питання теорії вузлів — чи відображають дві діаграми один і той самий вузол. Один з інструментів, що використовуються для відповіді на це питання — многочлен вузла, який є інваріантом вузла. Якщо двом діаграмам відповідають різні многочлени, то вони подають різні вузли. Обернене не завжди істинне.

Скейн-співвідношення (або співвідношення типу Конвея) часто використовують, щоб простим способом визначити многочлен вузла. Неформально кажучи, скейн-співвідношення задає лінійний зв'язок значень многочлена вузла на трьох зачепленнях, які відрізняються одне від одного лише в малій ділянці. Для деяких многочленів, таких як многочлени Конвея, Александера і Джонса, відповідного скейн-співвідношення достатньо, щоб обчислити многочлен рекурсивно. Для інших, таких як многочлен HOMFLY, потрібні складніші алгоритми.

Визначення

У скейн-співвідношенні беруть участь три діаграми зачеплення, ідентичні всюди, крім одного перехрестя. Ці три діаграми мають виражати три можливості, які могли б мати місце на цьому перехресті: нитка може пройти під іншою ниткою, над нею або НЕ перетнутися з нею зовсім. Необхідно розглядати діаграми зачеплень, оскільки зміна навіть одного перехрестя може перетворити діаграму вузла на діаграму зачеплення і навпаки. Залежно від конкретного многочлена вузла, зачеплення, що з'являються в скейн-співвідношенні можуть бути орієнтованими або неорієнтованими.

Три діаграми позначаються так. Розгорніть вузол так, щоб напрямки обох ниток у розглянутому перетині вказували приблизно на північ. В однієї діаграми нитка північно-західного напрямку проходить над північно-східною ниткою, її позначимо $L_{-}$. В іншої діаграми північно-східна нитка проходить над північно-західною, це $L_{+}$. Остання діаграма не має цього перетину і позначається $L_{0}$.

(Насправді, позначення не залежить від напрямку в тому сенсі, що після заміни всіх напрямків на протилежні, позначення залишається колишнім. Тому многочлени визначаються однозначно і на неорієнтованих вузлах. Однак орієнтація на зачепленні принципово важлива, щоб пам'ятати, в якому порядку виконувалася рекурсія.)

Корисно уявляти це як складання з однієї діаграми двох інших накладенням «латок» з відповідними орієнтаціями.

Щоб рекурсивно визначити многочлен вузла (зачеплення), фіксується функція $F$ і для будь-якої трійки діаграм і їхніх многочленів, позначених, як було зазначено вище,

$F{\Big (}L_{-},L_{0},L_{+}{\Big )}=0$

або акуратніше

$F{\Big (}L_{-}(x),L_{0}(x),L_{+}(x),x{\Big )}=0$ для кожного $x$.

(Знаходження функції $F$, яка робить многочлен незалежним від черговості перетинів у рекурсії — непроста задача.)

Формальніше, скейн-співвідношення можна розглядати, як визначення ядра фактор-відображення з планарної алгебри сплетінь. Таке відображення відповідає многочлену вузла, якщо всі замкнуті діаграми відображати в складні види порожніх діаграм.

Приклад

На початку 1960-х років Конвей показав, як обчислити многочлен Александера за допомогою скейн-співвідношень. Оскільки вони рекурсивні, це не настільки очевидно, як оригінальний матричний метод Александера; з іншого боку, частини роботи, виконаної для одного вузла, стосуватимуться інших. Зокрема, мережа діаграм є однаковою для всіх многочленів, пов'язаних зі скейн-співвідношеннями.

Нехай функція $P$ з діаграм зачеплення в ряди Лорана на ${\sqrt {x}}$ буде така, що $P({\rm {unknot}})=1$ і трійка діаграм скейн-співвідношень $(L_{-},L_{0},L_{+})$ задовольняє рівняння

$P(L_{-})=(x^{-1/2}-x^{1/2})P(L_{0})+P(L_{+})$

Тоді P відображає вузол на один із його многочленів Александера.

У цьому прикладі ми обчислюємо многочлен Александера п'ятилисника (), альтернованого вузла, на мінімальній діаграмі якого є п'ять перетинів. На кожному етапі ми показуємо рівність, яка включає складніше зачеплення і дві простіші діаграми. Зауважте, що складніше зачеплення на кожному кроці нижче, крім останнього, розташоване праворуч. Для зручності нехай A = x^−1/2 −x^1/2.

Для початку створюємо дві діаграми, змінивши один із перетинів п'ятилисника (виділено жовтим) так

P () = A × P () + P ()

Друга діаграма насправді є трилисником; перша діаграма — це два безвузли з чотирма перетинами. Змінивши останню,

P () = A × P () + P ()

знову маємо трилисник і два безвузли з двома перетинами (зачеплення Гопфа[1]). Змінення трилисника

P () = A × P () + P ()

дає незавузлений вузол і знову зачеплення Гопфа. Змінення зачеплення Гопфа

P () = A × P () + P ()

дає зачеплення з 0 перетинів (тривіальне) та незавузлений вузол. Тривіальне зачеплення вимагає певних хитрощів:

P () = A × P () + P ()

Обчислення

Тепер ми маємо достатньо рівностей, щоб обчислити многочлени всіх зачеплень, з якими ми стикалися, і можемо використати ці рівності у зворотному порядку, щоб отримати вузол п'ятилисник. Розрахунок описано в таблиці, де ? позначає невідому величину, яку ми виводимо з кожної рівності:

Назва вузла	Діаграми	P (діаграма)
		скейн-співвідношення	?	P повністю
Тривіальний вузол		визначено як 1		x→1
Тривіальне зачеплення		1=А? +1	0	x→0
Зачеплення Гопфа		0=A1+?	-А	x→x 1/2 -x −1/2
Трилисник		1=A(-A)+?	1+А 2	x→x −1 -1+x
Зачеплення з 4 перетинами		-A=A(1+A 2)+?	-A(2+A 2)	x→-x −3/2 +x −1/2 -x 1/2 +x 3/2
П'ятилисник		1+A 2 =A(-A(2+A 2))+?	1+3А 2 +А 4	x→x −2 -x −1 +1-x+x 2

Отже, многочлен Александера для п'ятилисника дорівнює P(x) = x ⁻² -x ⁻¹ +1 -x +x ².

Посилання

• Вузли та їхні многочлени - колонка Американського математичного товариства (англ.)
• Weisstein, Eric W. Скейн-співвідношення(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Morton, Hugh R.; Lukac, Sascha G. (2003), HOMFLY polynomial of decorated Hopf link, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12: 395—416, arXiv:math.GT/0108011, doi:10.1142/s0218216503002536