Скручений вузол

Скручений вузол з шістьма півобертами.

В теорії вузлів скручений вузол — це вузол, отриманий шляхом перекручування замкнутої петлі з подальшим зачепленням кінців (таким чином, скручений вузол — це будь-яке подвійне зачеплення Вайтгеда тривіального вузла). Скручені вузли є нескінченним сімейством вузлів і вважаються найпростішим типом вузлів після торичних вузлів.

Побудова

Скручений вузол отримують шляхом зачеплення двох кінців скрученої петлі. До зачеплення можна зробити будь-яку кількість півобертів, що дає нескінченне сімейство. На малюнках показано кілька перших скручених вузлів:

• 
  Один півоберт (трилисник)
• 
  Два півоберти (вісімка)
• 
  Три півоберти (5₂)
• 
  Чотири півоберти (вузол вантажника)
• 
  П'ять півобертів (7₂)
• 
  Шість півобертів (8₁)

Властивості

Вузол вантажника на чотири півоберти утворюється шляхом (само-)зачеплення одного кінця петлі, скрученої на два оберти, з іншим кінцем петлі.

Всі скручені вузли мають число розв'язування 1, оскільки вузол можна розв'язати, роз'єднавши два кінці. Будь-який скручений вузол є також двомістковим. З усіх скручених вузлів тільки тривіальний вузол і вузол вантажника є зрізаними. Скручений вузол c $n$ півобертами має число перетинів $n+2$. Всі скручені вузли є оборотними, але ахіральними скрученими вузлами є тільки тривіальний вузол і вісімка.

Інваріанти

Інваріанти скручених вузлів залежать від числа $n$ півобертів. Многочлен Александера скрученого вузла задається формулою

$\Delta (t)=$

${\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}$ для парних n,

$-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}$ для непарних n, а многочлен Конвея дорівнює

$\nabla (z)=$

${\frac {n+1}{2}}z^{2}+1$ для парних n,

$1-{\frac {n}{2}}z^{2}$ для непарних n.

Якщо $n$ непарне, многочлен Джонса дорівнює

$V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},$

при парному ж $n$

$V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.$

Література

• Dale Rolfsen. Knots and links. — Providence, R. I. : AMS Chelsea Pub, 2003. — ISBN 0-8218-3436-3.