Стрічковий вузол

Прямий вузол, поданий у вигляді стрічкового вузла

В теорії вузлів стрічковий вузол — це вузол, який обмежує круг з самоперетинами тільки зі стрічковими особливостями. Інтуїтивно, цей вид особливості можна утворити шляхом виконання розрізу в крузі і пропусканням іншої частини круга через розріз. Більш формально, цей тип особливості полягає в самоперетинанні по дузі. Прообраз цієї дуги складається з двох дуг круга, одна з яких повністю лежить всередині круга, а кінці іншої розташовані на краю круга.

Теорія Морса

Січний круго M — це гладке вкладення $D^{2}$ в $D^{4}$ з $M\cap \partial D^{4}=\partial M\subset S^{3}$. Розглядаючи функцію $f:D^{4}\to \mathbb {R}$, задану формулою $f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$, шляхом невеликої ізотопії M можна домогтися, щоб f була функцією Морса на M. Можна сказати, що $\partial M\subset \partial D^{4}=S^{3}$ є стрічковим вузлом, якщо $f_{|M}:M\to \mathbb {R}$ не має внутрішнього локального максимуму.

Гіпотеза про зрізану стрічку

Відомо, що будь-який стрічковий вузол є зрізаним. Відома відкрита проблема, поставлена Фоксом, — гіпотеза про зрізану стрічку, ставить зворотне питання: чи є кожен зрізаний вузол стрічковим?

Ліска показав, що гіпотеза істинна для вузлів з числом мостів 2. Ґрін і Ябука показали, що це виконується для триниткових мереживних зачеплень. Однак Гомпф, Шарлеман і Томпсон припустили, що гіпотеза може бути й хибною, і запропонували колекції вузлів, які можуть стати контрприкладами.

Література

• Ralph Fox. Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961). — Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall, 1962. — С. 168—176.. Перевидано в Dover Books, 2010.
• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вип. 4 (27 грудня). — С. 2305—2347. — DOI:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Joshua Greene, Stanislav Jabuka. The slice-ribbon conjecture for 3-stranded pretzel knots // American Journal of Mathematics. — 2011. — Т. 133, вип. 3 (27 грудня). — С. 555—580. — arXiv:0706.3398. — DOI:10.1353/ajm.2011.0022.
• Louis H. Kauffman. On Knots. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies) — ISBN 0-691-08434-3.
• Paolo Lisca. Lens spaces, rational balls and the ribbon conjecture // Geometry & Topology. — 2007. — Т. 11 (27 грудня). — С. 429—472. — DOI:10.2140/gt.2007.11.429.