Функційний простір

Функційний простір (англ. function space та англ. functional space)— у математиці, це множина функцій між двома фіксованими множинами.

Часто область визначення та/або область значень матиме додаткову структуру, яка успадковується функційним простором. Наприклад, множина функцій із будь-якої множини X у векторний простір має природну структуру векторного простору, задану поточковим додаванням і множенням на скаляр. В інших випадках функційний простір може успадкувати топологічну або метричну структуру, а отже, і назву «простір».

В лінійній алгебрі

Нехай F — поле і X будь-яка множина. Функціям X → F можна надати структуру векторного простору над F, де операції визначені поточково, тобто для будь-якого f, g : X → F, будь-якого x є X і будь-якого c є F, визначимо

$${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}$$

Коли область X має додаткову структуру, можна розглянути підмножину (або підпростір) усіх таких функцій, що зберігають цю структуру. Наприклад, якщо V та X є векторними просторами над F, множина лінійних відображень X → V утворюють векторний простір над F з поточково визначеними операціями (часто позначаються Hom(X,V)). Одним із таких просторів є спряжений простір до X: множина лінійних функціоналів X → F із поточково визначеними додаванням і множенням на скаляр.

Приклади

• У теорії множин множина функцій з X в Y позначається {X → Y} або Y^X.
  • Зокрема булеан множини X може бути ототожнений з множиною всіх функцій X → {0, 1}, що позначається 2^X.
• Множина біекцій між X та Y позначається $X\leftrightarrow Y$. Факторіальний запис X! може використовуватися для множини перестановок множини X.
• У функційному аналізі те ж саме спостерігається для неперервних лінійних перетворень, включаючи топології на векторних просторах, і багато прикладів функційних просторів з топологією; найвідоміші приклади включають гільбертові простори та банахові простори.
• У функційному аналізі множина всіх функцій від натуральних чисел до деякої множини X називається простором послідовностей. Він складається з множини всіх можливих послідовностей елементів X.
• У топології можна створити топологію на просторі неперервних функцій з топологічного простору X до іншого Y, з властивостями цих просторів. Прикладом є компактно-відкрита топологія, напр. простір петель. Також доступна топологія добутку на просторі теоретико-множинних функцій (тобто не обов’язково неперервних функцій) Y^X. У цьому контексті цю топологію також називають топологією поточкової збіжності.
• В алгебричній топології, теорія гомотопії в основному вивчає дискретні інваріанти функційних просторів;
• У теорії випадкових процесів основною технічною проблемою є те, як побудувати міру ймовірності на функційному просторі «шляхів процесу» (функцій від часу);
• У теорії категорій функційний простір називається експоненціальним об'єктом (експоненціалом) або об'єктом-відображенням. З одного боку, це виглядає як канонічний біфунктор представлення; з іншого як функтор типу [X, -], він виглядає як спряжений функтор до функтора типу (-×X) на об'єктах;
• У функційному програмуванні та лямбда-численні функційні типи використовуються для вираження ідеї функцій вищого порядку.
• Основна ідея теорії доменів полягає в знаходженні конструкцій з часткових порядків, які можуть моделювати лямбда-числення, шляхом створення підходящої декартової замкнутої категорії.
• У теорії представлень скінченних груп, задавши два скінченновимірних представлення V і W групи G, можна сформувати представлення G над векторним простором лінійних відображень Hom(V,W), яке називається представленням Hom.

В функційному аналізі

Функційний аналіз складається з методів приведення функційних просторів до топологічних векторних просторів з ідеями, подібними до тих, які застосовуються до нормованих просторів скінченної розмірності. Тут ми використовуємо дійсну пряму як приклад області визначення, але нижченаведені простори існують і на відповідних відкритих підмножинах $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$

• $C(\mathbb {R} )$ простір неперервних функцій (неперервні функції з супремум-нормою)
• $C_{c}(\mathbb {R} )$ простір фінітних функцій (неперервні функції з компактним носієм)
• $B(\mathbb {R} )$ обмежені функції
• $C_{0}(\mathbb {R} )$ неперервні функції зникаючі на нескінченності
• $C^{r}(\mathbb {R} )$ функції гладкості r.
• $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ (нескінченно) гладкі функції
• $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ гладкі функції з компактним носієм)
• $C^{\omega }(\mathbb {R} )$ дійсні аналітичні функції
• $L^{p}(\mathbb {R} )$, для $1\leq p\leq \infty$ — L^p-простір вимірних функцій з скінченною p-нормою ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$
• ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ простір Шварца of швидко зникаючих гладких функцій і їх неперервних двоїстих, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ узагальнених функцій
• $D(\mathbb {R} )$ компактний носій в топології границь
• $W^{k,p}$ простір Соболєва функція, чия слабкі похідні до ступеня k є в $L^{p}$
• ${\mathcal {O}}_{U}$ голоморфні функції
• лінійні функції
• поточково лінійні функції
• неперервні функції з компактно-відкритою топологією
• всі функції, простір з поточковою збіжністю
• Простір Гарді
• Простір Гельдера
• Càdlàg функції (Простір Скорохода)
• ${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$простір всіх Ліпшицевих функцій на $\mathbb {R}$ зникаючих в нулі.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)