Розподіл Ломакса

Ломакса
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\alpha >0$ форма (дійсне) $\lambda >0$ форма (дійсне)
Носій функції	$x\geq 0$
Розподіл імовірностей	${\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-\alpha }$
Середнє	${\lambda \over {\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1$; йнакше невизначена
Медіана	$\lambda \left({\sqrt[{\alpha }]{2}}-1\right)$
Мода	0
Дисперсія	${\begin{cases}{{\lambda ^{2}\alpha } \over {(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&\alpha >2\\\infty &1<\alpha \leq 2\\{\text{деінде}}&{\text{невизначена}}\end{cases}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ для }}\alpha >3\,$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ для }}\alpha >4\,$

Розподіл Ломакса, іноді його ще умовно називають розподілом Парето II типу, є розподілом ймовірностей з так званим "грубим хвостом", який використовується в бізнесі, економіці, актуарній науці, теорії масового обслуговування та моделюванні інтернет-трафіку. Названий на честь К. С. Ломакса. По суті, це розподіл Парето, який був зміщений настільки щоб його носій починався з нуля.

Характеристика

Функція густина

Функція густини розподілу Ломакса визначається як

$p(x)={\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,$

з параметром форми $\alpha >0$ і параметром масштабу $\lambda >0$. Густину можна переписати таким чином, щоб більш чітко показувати зв'язок із розподілом Парето I типу. Тобто:

$p(x)={{\alpha \lambda ^{\alpha }} \over {(x+\lambda )^{\alpha +1}}}$ .

Нецентральні моменти

The $\nu$ ий нецентральний момент $E\left[X^{\nu }\right]$ існує лише якщо параметр форми $\alpha$ більший за $\nu$, тоді момент обчислюється за формулою

$E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}$

Пов'язані розподіли

Зв'язок з розподілом Парето

Розподіл Ломакса є розподілом Парето I типу, зміщеним так, що його носій починався з нуля. Зокрема:

${\text{If }}Y\sim {\mbox{Pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ then }}Y-x_{m}\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ).$

Розподіл Ломакса є розподілом Парето типу II з x _m =λ і μ=0:

${\text{If }}X\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ){\text{ then }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).$

Зв'язок з узагальненим розподілом Парето

Розподіл Ломакса є окремим випадком узагальненого розподілу Парето. Зокрема:

$\mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.$

Зв'язок з бета розподілом

Розподіл Ломакса з параметром масштабу λ = 1 є окремим випадком бета-штрих розподілу. Якщо X розподілена за розподілом Ломакса, то ${\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )$ .

Зв'язок з розподілом Фішера

Розподіл Ломакса з параметром форми α = 1 і параметром масштабу λ = 1 має густину$f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$, такий самий розподіл має розподіл F (2,2). Це розподіл частки двох незалежних і однаково розподілених випадкових величин з експоненційними розподілами.

Зв'язок з q-експоненційним розподілом

Розподіл Ломакса є окремим випадком q-експоненційного розподілу . q-експонента розширює цей розподіл до носія на обмеженому інтервалі. Параметри розподілу Ломакса визначаються наступним чином:

$\alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.$

Зв'язок з (лог-) логістичним розподілом

Логарифм розподіленої за Ломаксом змінної Lomax(форма = 1,0, масштаб = λ) розподілений за логістичним розподілом з розташуванням log(λ) і масштабом 1. Тобто, що Lomax(форма = 1, масштаб = λ)-розподіл дорівнює логарифмічно логістичним розподілом з параметром форми β = 1,0 і масштабу α = log(λ).

Зв'язок гамма-експоненціальної (масштабованої) суміші

Розподіл Ломакса виникає як суміш експоненційних розподілів, де розподілом змішування темпу виступає гамма-розподіл. Якщо λ|k,θ ~ Gamma(форма = k, масштаб = θ) і X |λ ~ Exponential(темп= λ), то граничний розподіл X |k,θ є Ломакс розподілом Lomax(форма = k, масштаб = 1/θ ). Оскільки параметр масштабу можна еквівалентно перепараметрувати до параметра масштабу, розподіл Ломакса по суті є сумішшю експоненційного (з параметром експоненціального масштабу, що розподілений за оберненим гамма-розподілом).

Див. також

• Степеневий розподіл
• складний розподіл ймовірностей
• гіперекспоненційний розподіл (кінечна суміш експоненцій)
• нормально-експоненціальний гамма-розподіл (суміш нормального масштабу з розподілом Ломакса)