Геометричний розподіл

Геометричний
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$0<p\leq 1$ ймовірність успіху (дійсне число)
Носій функції	k спроб, де $k\in \{1,2,3,\dots \}$
Розподіл імовірностей	$(1-p)^{k-1}p$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }$ for $x\geq 1$, $0$ для $x<1$
Середнє	${\frac {1}{p}}$
Медіана	$\left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil$ (не єдина якщо $-1/\log _{2}(1-p)$ це ціле число)
Мода	$1$
Дисперсія	${\frac {1-p}{p^{2}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$
Коефіцієнт ексцесу	$6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$
Ентропія	${\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}},$ для $t<-\ln(1-p)$
Характеристична функція	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$
Інформація за Фішером	${\tfrac {1}{p^{2}\cdot (1-p)}}$

В теорії імовірностей і статистиці геометричний розподіл визначається як будь-який з двох розподілів ймовірностей:

• дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні.

  $\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,$

  де k = 1, 2, 3, ....

• величина Y = X − 1 , що дорівнює кількості неуспіхів до першого успіху.

  $\Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,$

  де k = 0, 1, 2, 3, ....

Який з цих розподілів називати геометричним питання згоди і зручності. Ці два різні геометричні розподіли не можна плутати один з одним. Очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини X є 1/p і її похибка (1 − p)/p²:

$\mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Так само очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини Y є $(1-p)/p$, і її похибка $(1-p)/p^{2}$:

$\mathrm {E} (Y)={\frac {1-p}{p}},\qquad \mathrm {var} (Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Оцінка параметра

Для обох варіантів геометричного розподілу параметр p може оцінюватися через порівняння очікуваної величини. Це метод моментів, який у цьому випадку проводить оцінки максимальної ймовірності p. Припустимо, для першого варіанту $k_{1},\dots ,k_{n}$, коли $k_{i}\geqslant 1$ для $i=1,\dots ,n$. Тоді p має такі оцінки

${\widehat {p}}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}.\!$

$p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}(k_{i}-1)\right).\!$.

${\widehat {p}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{-1}.\!$

$p\sim \mathrm {Beta} \left(\alpha +n,\ \beta +\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right).\!$

Інші властивості

Функція імовірності X і Y , відповідно,

• $G_{X}(s)={\frac {s\,p}{1-s\,(1-p)}},\!$

  $G_{Y}(s)={\frac {p}{1-s\,(1-p)}},\quad |s|<(1-p)^{-1}.\!$

• Подібно неперервному аналогу (показниковий розподіл) , геометричний розподіл має властивість відсутності пам'яті. Це означає, що кількість попередніх "невдач" не впливає на кількість наступних "невдач".Таким чином геометричний розподіл - це єдиний дискретний розподіл з такою властивістю.
• Серед всіх дискретних ймовірних розподілів на {1, 2, 3, ... } з даною очікуваною величиною μ геометричний розподіл X з параметром p = 1/μ є одним

Геометричний розподіл числа Y невдач перед першим успіхом є нескінченно ділимим,для будь-якого додатнього цілого n, існують незалежні тотожньо розподілені випадкові величини Y₁, ..., Y_n сума яких має такий самий розподіл як і Y

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)