Загальне правило Лейбніца — в диференціальному численні, це узагальнення правила добутку для обчислення n-ої похідної. Назване на честь Готфріда Вільгельма Лейбніца.
Воно стверджує, що якщо
та
є n-раз диференційовними функціями, тоді добуток
також є n-раз диференційовним і n-та похідна рівна
![{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5fbf529aa458b37f32e4cf1839132d83af06e8)
де
— біноміальний коефіцієнт, а
позначає j-ту похідну від f (зокрема
).
Формула доводиться використанням правила добутку та математичної індукції.
![{\displaystyle (f\cdot g)''=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}g^{(k)}}=f''\cdot g+2f'\cdot g'+f\cdot g''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce2326842019b247d02b00585b6a0b9a30e8f1d)
Формула узагальнюється для m диференційовних функцій f1,...,fm.
![{\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ddac51dd078e1e5f095a0e67c853c6bb278bf0)
сума береться по всіх m-кортежах (k1,...,km) не від'ємних цілих із
де
— мультиноміальні коефіцієнти.
Доведення методом математичної індукції. Для
формула:
справедлива, бо є відомим правилом добутку. Нехай твердження справедливе для деякого
тобто
![{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac28152884f452b42b5bcf412edb7f0ad8635d39)
Тоді,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195166910864530fea5b647df661b47df305b4b3)
Тобто твердження справедливе для
, що і потрібно було довести.
...