Дивергенція (математика)

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Диверге́нція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля немає, або вони зрівноважені. Таке поле називають соленоїдальним.

Визначення

Дивергенцією $\operatorname {div} \mathbf {F}$ векторного поля $\mathbf {F}$ в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню $S$, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{V\to 0}{\frac {\oint _{S}\mathbf {Fn} \,dS}{V}}.$

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

$\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}=\nabla \cdot \mathbf {F} ,$

де $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ — оператор Гамільтона

Властивості дивергенції

Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних.

• Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полів $\mathbf {F}$, $\mathbf {G}$ та будь-яких чисел $a$, $b$ справедливий наступний вираз:

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\,\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\,\operatorname {div} (\mathbf {G} ).$

• Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля $\varphi$ на векторне $\mathbf {F}$:

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \,\operatorname {div} (\mathbf {F} )$

• Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} ).$

• Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} (\varphi ))=\Delta \varphi .$

• Дивергенція ротора тотожно дорівнює нулю:

$\operatorname {div} (\operatorname {rot} (\mathbf {F} ))=0.$

Див. також

• Дивергентна границя (в геології)

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)