Правило частки при диференціюванні

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків д'Аламбера Радикальна Інтегральна Пряме порівняння Порівняння границь Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Правило частки — формула для знаходження похідної частки двох функцій.

Якщо $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$, обидві функції f та g є диференційовними і $g(x)\neq 0.$ Правило знаходження похідної h(x) :

$h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}.$

Приклади

• ${\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.$

• ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}$

Правило оберненої функції

Є частковим випадком частки при $f(x)=1$:

$h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.$

Використовуючи диференціювання складеної функції отримаємо такий же результат.

Доведення

з використанням границь

Для $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$:

$${\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}$$

.

з диференціюванням добутку

Якщо $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},$ тоді $f(x)=g(x)h(x).$

Використаємо правило добутку $f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).$

Виразимо $h'(x)$ та підставимо $h(x)$:

$h'(x)={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.$

з диференціюванням оберненої та складеної функцій

Для $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}$, використаємо диференціювання оберненої та складеної функцій:

$h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.$

з диференціюванням логарифмів

Для $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.$ Візьмем логарифми обох частин

$\ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|$

Візьмем логарифмічну похідну обох частин:

${\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}$

Виразимо $h'(x)$ і підставимо $h(x)={\tfrac {f(x)}{g(x)}}$:

$h'(x)=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.$

Похідна другого порядку

Правило добутку дозволяє обчислити похідні вищих порядків. Наприклад, для $f=gh$ друга похідна $f''=g''h+2g'h'+gh''$ дає

$h''=\left({\frac {f}{g}}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}}.$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)