У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:
Бета .
Бета-розподіл Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
Носій функції
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]\!}
Розподіл імовірностей
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
Середнє
α
α
+
β
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}
Мода
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}
для
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}
Дисперсія
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}
Коефіцієнт асиметрії
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
Коефіцієнт ексцесу
6
α
3
−
α
2
(
2
β
−
1
)
+
β
2
(
β
+
1
)
−
2
α
β
(
β
+
2
)
α
β
(
α
+
β
+
2
)
(
α
+
β
+
3
)
{\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!}
Твірна функція моментів (mgf)
1
+
∑
k
=
1
∞
(
∏
r
=
0
k
α
+
r
α
+
β
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
Характеристична функція
1
F
1
(
α
;
α
+
β
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
Інформація за Фішером
[
var
[
ln
X
]
cov
[
ln
X
,
ln
(
1
−
X
)
]
cov
[
ln
X
,
ln
(
1
−
X
)
]
var
[
ln
(
1
−
X
)
]
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}
Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів .
Нехай розподіл випадкової величини
X
{\displaystyle X}
задаєтся густиною ймовірності
f
X
{\displaystyle f_{X}}
,
що має вигляд:
f
X
(
x
)
=
1
B
(
α
,
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}
,
де
α
,
β
>
0
{\displaystyle \alpha ,\beta >0}
довільні фіксовані параметри, і
B
(
α
,
β
)
=
∫
0
1
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
d
x
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}
— бета-функція .
Тоді випадкова величина
X
{\displaystyle X}
має бета-розподіл. Пишуть:
X
∼
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
.
Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від
вибору параметрів
α
{\displaystyle \alpha }
і
β
{\displaystyle \beta }
.
α
<
1
,
β
<
1
{\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}
— графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
α
<
1
,
β
≥
1
{\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}
чи
α
=
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}
— графік строго спадний (синя крива)
α
=
1
,
β
>
2
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}
— графік строго опуклий;
α
=
1
,
β
=
2
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}
— графік є прямою лінією;
α
=
1
,
1
<
β
<
2
{\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}
— графік строго
ввігнутий ;
α
=
1
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}
графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу ;
α
=
1
,
β
<
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}
або
α
>
1
,
β
≤
1
{\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}
— графік строго зростаючий (зелена крива);
α
>
2
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}
— графік строго опуклий;
α
=
2
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}
— графік є прямою линією;
1
<
α
<
2
,
β
=
1
{\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}
— графік строго ввігнутий;
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}
— график унімодальний (пурпурова та чорна криві)
У випадку, коли
α
=
β
{\displaystyle \alpha =\beta }
, густина ймовірності симетична
відносно
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
(червона та пурпурова криві), то
f
X
(
x
−
1
/
2
)
=
f
X
(
x
+
1
/
2
)
,
x
∈
[
0
,
1
/
2
]
{\displaystyle f_{X}(x-1/2)=f_{X}(x+1/2),\;x\in [0,1/2]}
.
Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини
X
{\displaystyle X}
,
що має бета-розподіл, мають такий вигляд:
E
[
X
]
=
α
α
+
β
{\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
,
D
[
X
]
=
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
.
Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:
U
[
0
,
1
]
≡
B
(
1
,
1
)
{\displaystyle \mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)}
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
— незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому
X
∼
Γ
(
α
,
1
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)}
, а
Y
∼
Γ
(
β
,
1
)
{\displaystyle Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)}
, то
X
X
+
Y
∼
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
B
(
0
,
0
)
{\displaystyle B(0,0)}
: густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака , і нульова між ними.
Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн ,[ 1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p −1 (1−p )−1 . Функцію p −1 (1−p )−1 можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p −1 (1−p )−1 розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака , і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Beta distribution (англ.) . Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою
перекладу з англійської.
Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад .
Дискретні одновимірні зі скінченним носієм Дискретні одновимірні з нескінченним носієм Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій Неперервні одновимірні з носієм змінного типу Змішані неперервно-дискретні одновимірні Багатовимірні (спільні) Напрямкові Вироджені та сингулярні [en] Сімейства