Диференціальне числення

	Диференціальне числення
Тема вивчення/дослідження	похідна
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Класифікаційний код ACM 2012	10003734
Протилежне	інтегральне числення
	Диференціальне числення у Вікісховищі

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою $s(t)={\frac {gt^{2}}{2}}$ , де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, $g\approx 9{,}8$ м/с². Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту $t$ . Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту $t$ , але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від $t$ до $t+\Delta t$ дорівнює:

${\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}=gt+{\frac {g}{2}}\Delta t\qquad (1)$

При необмеженому зменшенні проміжку $\Delta t$ , вираз (1) поступово наближується до $gt$ . Цю величину називають швидкістю руху в момент часу $t$ . Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу $t$ , проміжку часу від $t$ до $t+\Delta t$ та закону руху, який виражається формулою $s=f(t)$ . Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від $t$ до $t+\Delta t$ задається формулою ${\frac {\Delta s}{\Delta t}}$ , де $\Delta s=f(t+\Delta t)-f(t)$ , а швидкість руху у момент часу $t$ дорівнює:

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}\qquad (2)$

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу ( $t$ , $t+\Delta t$ ). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці $M$ . Нехай крива Г є графіком функції $y=f(x)$ . Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута $\alpha$ , який дотична утворює з додатнім напрямом осі $Ox$ .

Позначимо через $x_{0}$ абсцису точки $M$ , а через $x_{1}=x_{0}+\Delta x$ — абсцису точки $M_{1}$ . Кутовий коефіцієнт січної $MM_{1}$ дорівнює:

$\tan \beta ={\frac {M_{1}N}{MN}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$ ,

де $\Delta y=M_{1}N=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ — приріст функції на проміжку $[x_{0},x_{1}]$ . Якщо визначати дотичну у точці $M$ як граничне положення січної $MM_{1}$ при $x_{1}$ прямує до нуля, то отримаємо:

$\tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$ .

Поняття похідної

Докладніше: Похідна

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції $y=f(x)$ у точці $x$ називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

$y'=f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ .

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю $\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}$ , де $\Delta q$ — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час $\Delta t$ , а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції $y=f(x)$ позначають $f'(x),y',{\frac {dy}{dx}},{\frac {df}{dx}},Df(x)$ .

Якщо функція $y=f(x)$ має похідну у точці $x_{0}$ , то вона визначена як у самій точці $x_{0}$ , так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці $x_{0}$ . Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція $y=|x|=+{\sqrt {x^{2}}}$ , графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при $x=0$ не має похідної, оскільки відношення ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ не має границі при $\Delta x\to 0$ : якщо $\Delta x>0$ це відношення дорівнює $+1$ , а якщо $\Delta x<0$ , то воно дорівнює $-1$ . Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто $y=f(u)$ та $u=\phi (x)$ , або всерівно що $y=f[\phi (x)]$ , то ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}=f'(u)\phi '(x)$

Якщо похідна $f'(x)$ має похідну, то її називають другою похідною функції $y=f(x)$ та позначають $y'',f''(x),{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},D^{2}f(x)$ . З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: $y^{n},f^{n}(x),{\frac {d^{n}x}{dx^{n}}},{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},D^{n}f(x)$ .

Таблиця похідних

Докладніше: Таблиця похідних

Основні похідні

Похідна від сталої: $(C)'=0\,$
Похідна від степеневої функції: $(x^{n})'=nx^{n-1}\,$
Похідна від показникової функції: $(a^{x})'=a^{x}\ln a\,$
Похідна від експоненти: $(e^{x})'=e^{x}\,$
Похідна від логарифмічної функції: $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$
Похідна від натурального логарифма: $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$
Похідна від синуса: $(\sin x)'=\cos x\,$
Похідна від косинуса: $(\cos x)'=-\sin x\,$
Похідна від тангенса: $(\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
Похідна від котангенса: $(\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$
Похідна від арксинуса: $(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Похідна від арккосинуса: $(\arccos x)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Правила диференціювання

Сталу можна виносити за знак похідної: $[Cf(x)]'=Cf'(x)\,$
Сума та різниця похідних: $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$
Добуток похідних: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,$
Частка похідних: $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$

Тут $C,n,a(a>0)$ — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.