Потік векторного поля

В математиці, термін потік векторного поля використовується для двох різних понять:

1. Потік векторного поля через гіперповерхню — поверхневий інтеграл другого роду на поверхні $S$. За означенням

$\Phi _{F}=\iint \limits _{S}{(\mathbf {F} ,\mathbf {n} )dS}$

де $\mathbf {F} =\mathbf {F(X)} =\{F_{x}(\mathbf {X} ),F_{y}(\mathbf {X} ),F_{z}(\mathbf {X} )\}$ — векторне поле (чи вектор-функція векторного аргументу — точки простору), $\mathbf {n}$ — одиничний вектор додатної нормалі до поверхні (додатній напрям обирається для орієнтованої поверхні умовно, але однаково для всіх точок — тобто для диференційовної поверхні — так, щоб $\mathbf {n}$ був неперервним; для неорієнтованої поверхні це не важливо, оскільки потік через неї завжди дорівнює нулю), $dS$ — інфінітозимальний елемент поверхні. В фізиці іноді застосовують позначення

$d\mathbf {S} =\mathbf {n} dS$

тоді потік записується у вигляді

$\Phi _{F}=\iint \limits _{S}{(\mathbf {F} ,d\mathbf {S} )}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

Потік вектора напруженості Ф через майданчик ds - кількість силових ліній, що пронизують цей майданчик ds.

2. Потік векторного поля ${\vec {A}}$ — однопараметрична родина дифеоморфізмів $\Gamma _{t}$, що визначаються диференційним рівнянням

$d\Gamma _{t}(x)/dt={\vec {A}}(\Gamma _{t}(x)).$

Фізична інтерпретація

Нехай рух нестисливої рідини одиничної густини задано векторним полем швидкості $\mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z)$. Тоді маса рідини, що протече за одиницю часу через поверхню $S$ буде дорівнювати потоку векторного поля $\mathbf {v}$ через поверхню $S$.

Див. також

• Формула Остроградського
• Векторна трубка

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)