Потік векторного поля

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

В математиці, термін потік векторного поля використовується для двох різних понять:

1. Потік векторного поля через гіперповерхню — поверхневий інтеграл другого роду на поверхні $S$. За означенням

$\Phi _{F}=\iint \limits _{S}{(\mathbf {F} ,\mathbf {n} )dS}$

де $\mathbf {F} =\mathbf {F(X)} =\{F_{x}(\mathbf {X} ),F_{y}(\mathbf {X} ),F_{z}(\mathbf {X} )\}$ — векторне поле (чи вектор-функція векторного аргументу — точки простору), $\mathbf {n}$ — одиничний вектор додатної нормалі до поверхні (додатній напрям обирається для орієнтованої поверхні умовно, але однаково для всіх точок — тобто для диференційовної поверхні — так, щоб $\mathbf {n}$ був неперервним; для неорієнтованої поверхні це не важливо, оскільки потік через неї завжди дорівнює нулю), $dS$ — інфінітозимальний елемент поверхні. В фізиці іноді застосовують позначення

$d\mathbf {S} =\mathbf {n} dS$

тоді потік записується у вигляді

$\Phi _{F}=\iint \limits _{S}{(\mathbf {F} ,d\mathbf {S} )}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

Потік вектора напруженості Ф через майданчик ds - кількість силових ліній, що пронизують цей майданчик ds.

2. Потік векторного поля ${\vec {A}}$ — однопараметрична родина дифеоморфізмів $\Gamma _{t}$, що визначаються диференційним рівнянням

$d\Gamma _{t}(x)/dt={\vec {A}}(\Gamma _{t}(x)).$

Фізична інтерпретація

Нехай рух нестисливої рідини одиничної густини задано векторним полем швидкості $\mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z)$. Тоді маса рідини, що протече за одиницю часу через поверхню $S$ буде дорівнювати потоку векторного поля $\mathbf {v}$ через поверхню $S$.

Див. також

• Формула Остроградського
• Векторна трубка

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)