Площа поверхні

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Пло́ща пове́рхні — площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.

Обчислення

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією $\mathbf {r} (u,v)$, тоді площа $S$, поверхні $(u,v)\in \Omega$, обчислюється за формулою:

$S=\iint \limits _{\Omega }|r_{u}\times r_{v}|dudv$,

де $r_{u}={\frac {\partial r}{\partial u}}$ та $r_{v}={\frac {\partial r}{\partial v}}$ — дотичні вектори, $r_{u}\times r_{v}$ — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

$S=\iint \limits _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\,dudv$,

де $E,F,G$ — коефіцієнти першої квадратичної форми, $E=\left(r_{u},r_{u}\right),G=\left(r_{v},r_{v}\right),F=\left(r_{u},r_{v}\right)$.

Якщо поверхню $\Omega$ задано функцією $z=z(x,y)$ над деякою областю $(x,y)\in \Omega '$ (або $\Omega '$ є проєкцією поверхні $\Omega$ на площину $xOy$), тоді

$S=\iint \limits _{\Omega }d\Omega =\iint \limits _{\Omega '}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dxdy.$

Див. також

• Об'єм
• Парадокс маляра
• Площа
• Поверхневий інтеграл
• Поверхня обертання

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)