Гіпотрохоїда

Гіпотрохоїда

Гіпотрохоїда з параметрами R = 5, r = 3, h = 5.

Гіпотрохоїда — плоска крива, утворена фіксованою точкою, що лежить в площині деякого кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називають твірним (його радіус дорівнює r), нерухоме коло — напрямним (його радіус дорівнює R). ^{:стор.806}

Початковою точкою гіпотрохоїди називають таку її точку $P$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$, що і точка опори. ^{:стор.805}

Вершиною гіпотрохоїди називають таку її точку $V$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$. ^{:стор.806}

Будь-яка гіпотрохоїда має однакову кількість вершин і початкових точок.

Гіпотрохоїда є окремим випадком рулети — кривої, що отримана як траєкторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Граничні випадки гіпотрохоїди:

• Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності ($R\to \infty$), крива стає трохоїдою з тим же радіусом твірного кола. ^{:стор.814}
• Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченності ($r\to \infty$), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою в площині цієї прямої, є подовженою або скороченою евольвентою кола.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює $R$, радіус кола, що котиться по ньому дорівнює $r$, а відстань від твірної точки до центру рухомого кола дорівнює $h$, то гіпотрохоїда описується параметричними рівняннями в прямокутній системі відносно $\varphi$:

${\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi +h\cdot \cos({\frac {R-r}{r}}\varphi )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -h\cdot \sin({\frac {R-r}{r}}\varphi )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&0\leq \varphi \leq 2r\cdot \pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&0\leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}$

При цьому початкова точка гіпотрохоїди, з якої починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $Ox$.

Кут $\varphi$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $Ox$.

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат гіпотрохоїди має вигляд:

${\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi +h\cdot \cos({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -h\cdot \sin({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2\pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2r\cdot \pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}$

При цьому гіпотрохоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут $\beta ={\frac {r}{R}}\cdot \alpha$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпотрохоїди (з якої починається утворення кривої) з початком координат, та віссю $Ox$ дорівнює ${\frac {r}{R}}\cdot \alpha$.

Ввівши величину $\textstyle k={\frac {R}{r}}$, отримаємо параметричне рівняння звичайної (неповернутої) гіпотрохоїди у вигляді:

${\begin{cases}&x(\varphi )=r\cdot (k-1)\cos \varphi +h\cdot \cos \left((k-1)\varphi \right)\\&y(\varphi )=r\cdot (k-1)\sin \varphi -h\cdot \sin \left((k-1)\varphi \right)\end{cases}}$

де $R$ — радіус нерухомого кола,
$r$ — радіус кола, що котиться,
$h$ — відстань від твірної точки до центра рухомого кола.

Величина $k$ визначає форму гіпотрохоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:

$z(\varphi )=r\cdot (k-1)e^{i\varphi }+h\cdot e^{-i(k-1)\varphi }$ .

де

• кут $\varphi \in [0,2\pi ]$ ;
• радіус твірного (рухомого) кола $r$;
• радіус напрямного (нерухомого) кола $R=kr$;
• відстань від твірної точки до центра рухомого кола $h$.

Властивості та особливості форми

• Будь-яка гіпотрохоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами $|R-r-h|$ та $|R-r+h|$.
  

На першому з них лежать вершини, а на другому — початкові точки гіпотрохоїди.

• При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) $O$ на кут, кратний $2\pi \cdot {\frac {r}{R}}$, гіпотрохоїда суміщається сама з собою. ^{:стор.812}
• Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою $2(k-1)$ порядку;
  

Крива складається з $k$ конгруентних гілок, а отже, має $k$ вершин та початкових точок.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить $(k-1)$ повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k={\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою $2\cdot |p-q|$ порядку;
  

Крива складається з $p$ конгруентних гілок, а отже, має $p$ вершин та початкових точок.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить $|p-q|$ повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k$ — ірраціональне число, то гіпотрохоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість гілок, вершин та каспів. При необмеженому збільшенні параметра $\varphi$, крива щільно заповнює кільце, обмежене колами з радіусами $|R-r-h|$ та $|R-r+h|$.
• Гіпотрохоїда має однакову кількість вершин та каспів;
• Гіпотрохоїду з параметрами $(R,r,h)$ можна отримати так само як гіпотрохоїду з параметрами. ^{:стор.816}

$R_{1}={\frac {h}{r}}\cdot R\,;\quad r_{1}={\frac {h}{r}}\cdot (R-r)\,;\quad h_{1}=R-r$.

У випадку, коли $R<r$, крива $(R_{1},r_{1},h_{1})$ є епітрохоїдою з параметрами

$R_{1}={\frac {h}{r}}\cdot R\,;\quad r_{1}={\frac {h}{r}}\cdot (r-R)\,;\quad h_{1}=r-R$.

Заувага: Гіпотрохоїда, яка при одному способі утворення, була подовженою, при іншому способі утворення виявляється скороченою (і навпаки).

• Властивість нормалі

Нормаль, що проведена через будь-яку точку $M$ гіпотрохоїди, проходить через відповідну точку дотику $E$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл. ^{:стор.817}

Метричні характеристики

• Довжина дуги гіпотрохоїди між точками, що відповідають кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$: ^{:стор.818}

$\ell =\left|{\frac {R-r}{r}}\right|\cdot \int _{0}^{\varphi _{1}}{\sqrt {r^{2}+h^{2}-2rh\cdot \cos \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right)}}d\varphi$

Ця дуга по довжині дорівнює довжині еліпса

${\begin{cases}&x(\varphi )=2(h-r)\cdot {\frac {R-r}{R}}\cdot \cos \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right)\\&y(\varphi )=2(h+r)\cdot {\frac {R-r}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right)\end{cases}}$

між точками з тими ж значеннями кута $\varphi$.

Інтеграл в загальному випадку не виражається через елементарні функції, але у випадках, коли гіпотрохоїда є гіпоциклоїдою, його можна виразити в елементарних функціях.

Також довжину дуги гіпотрохоїди від її початку до точки, що відповідає параметру $\varphi$ можна обчислити за формулою:

$\ell (\varphi )=2\cdot |(R-r)(r-h)|\cdot E\left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \,;{\frac {2i\cdot {\sqrt {rh}}}{|r-h|}}\right)$

де $\textstyle {E}\left(x\,;m\right)$ — еліптичний інтеграл другого роду.

• Площа сектора, що описується полярним радіусом $OM$ гіпотрохоїди, коли точка $M$ пробігає по дузі між точками, що відповідають кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$: ^{:стор.819}

$S={\frac {(R-r)}{2}}\cdot \left(\left(R-r-{\frac {h^{2}}{r}}\right)\cdot \varphi _{1}+{\frac {h(R-2r)}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi _{1}\right)\right).$

Тут площа розглядається як спрямована величина, тобто приймається, що в тих проміжках зміни параметра $\varphi$, де полярний радіус обертається у від'ємному напрямку, він описує від'ємну площу. ^{:стор.820}

• Радіус кривини будь-якої гіпотрохоїди в деякій її точці $M$, що відповідає куту $\varphi$ ^{:стор.817}:

$\rho =(R-r)\cdot {\frac {\left(r^{2}+h^{2}-2rh\cdot \cos \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi \right)\right)^{3/2}}{\left|r^{3}-h^{2}(R-r)+rh(R-2r)\cdot \cos \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi \right)\right|}}$

Окремі випадки

Окремими випадками гіпотрохоїди є:

• Гіпоциклоїда (коли точка, що її утворює, лежить на самому твірному колі, тобто при $h=r$);
• Еліпс з центром в початку координат (при параметрах $R=2r\,;\,h\neq r$).

Напіввісі цього еліпса дорівнюють: $a=r+h\,;\,b=|r-h|$; кінцями великої осі є початкові точки гіпотрохоїди, кінцями малої осі — її вершини.

Ексцентриситет цього еліпса:

$e={\frac {2{\sqrt {h/r}}}{1+(h/r)}}$

Еліпс (червона лінія) може бути представлений як окремий випадок гіпотрохоїди з параметрами R = 2r (Tusi couple); на цьому рисунку R = 10, r = 5, d = 1.

Якщо за сталих $R$ та $r$, що пов'язані співвідношенням $R=2r$, різниця $r-h$ прямує до нуля, то мала вісь еліпса необмежено зменшується, а велика наближається до діаметра напрямного кола. Звичайна гіпоциклоїда, що утворюється в граничному випадку ($r=h$), являє собою відрізок прямої, а саме той діаметр напрямного кола, що з'єднує початкові точки.

• Троянда з індексом $n>1$ (при $h=R-r$).

Початок координат є вузловою точкою.

Рівняння кривої в полярних координатах має вигляд:

$\rho =2h\cdot \cos \left({\frac {k}{k-2}}\cdot \theta \right)$

Цікаві факти

• Логотип Adobe Acrobat являє собою дещо деформовану гіпотрохоїду.

Див. також

• Рулета
• Трохоїда
• Епітрохоїда
• Спірограф — дитяча іграшка, яка дозволяє малювати гіпотрохоїди.

Література

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 165–168. ISBN 0-486-60288-5.

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 295-297.(рос.)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Hypotrochoid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Trochoid, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Hypotrochoid в архіві MacTutor (англ.)
• Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Гіпотрохоїда на сайті [Mathcurve] , 2017