Напівкубічна парабола

Напівкубічна парабола при різних значннях $a$.

Напівкубічна парабола, або парабола Нейла — плоска алгебрична крива 3-го порядку з однією особливою точкою звороту.

Напівкубічну параболу можна означити як криву, що є еволютою параболи.

В класифікації Ньютона кривих 3-го порядку напівкубічна парабола належить до 6-го класу та є розбіжною параболою'. ^{:стор.7-8, 27}

Рівняння

• Рівняння напівкубічної параболи в декартовій системі координат в неявному виді:

$y^{2}=a\cdot x^{3}$

Або у явному виді:

$y=\pm {\sqrt {a}}\cdot x^{\frac {3}{2}}$

При цьому крива симетрична відносно осі абсцис $Ox$, а її точка звороту знаходиться в початку координат.

• Рівняння напівкубічної параболи в декартовій системі координат в параметричному виді:

${\begin{cases}x(t)=t^{2}\,\\y(t)={\sqrt {a}}\cdot t^{3}\end{cases}}\,;\quad -\infty <t<+\infty$

• Рівняння напівкубічної параболи в полярній системі координат:

$r={\frac {1}{a}}\cdot \operatorname {tg} ^{2}\varphi \cdot \sec \varphi ={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {\sin ^{2}\varphi }{\cos ^{3}\varphi }}\,;\quad 0\leq \varphi \leq \pi$

Метричні характеристики

Для напівкубічної параболи, що задана рівнянням $y=b\cdot x^{\frac {3}{2}}$ :

• Довжина дуги від початку координат:

$\ell ={\frac {1}{27b^{3}}}\cdot \left((4+9b^{2}\cdot x)^{\frac {2}{3}}-8\right)$

• Об'єм тіла обертання, що утворене при обертанні навколо осі $Ox$ криволінійного $\triangle OMP$ ($OM$ — дуга напівкубічної параболи від початку координат, $OP=x$ — відрізок на осі $Ox$ (абсциса точки $M$), $PM=y$ — відрізок, паралельний до осі $Oy$ (ордината точки $M$) ) ^{:стор.185}:

$V=\pi \cdot \int _{0}^{x}\,b^{2}\cdot x^{3}\,dx={\frac {b^{2}\cdot \pi x^{4}}{4}}={\frac {\pi \cdot xy^{2}}{4}}$

• Кривина напівкубічної параболи:

$k={\frac {6b}{{\sqrt {x}}\cdot \left(4+9b^{2}\cdot x\right)^{\frac {3}{2}}}}$

Радіус кривини напівїкубічної параболи в початку координат дорівнює нулю.

Властивості

• Напівкубічна парабола є алгебричною раціональною кривою 3-го порядку роду 0.
• Напівкубічна парабола є необмеженою зв'язною кривою, що має вісь симетрії та одну особливу точку (касп , точку звороту 1-го роду).^{:стор.164}
  Має нескінченно віддалену точку перегину. ^:стор.27

• 

  Приклад побудови еволюти параболи

  Напівкубічна парабола є еволютою параболи та подерою цисоїди Діокла.
  Зокрема, еволютою параболи $y^{2}=4a\cdot x$ є напівкубічна парабола $27a\cdot y^{2}=4\cdot (x-2a)^{3}$. ^{:стор.187}
  • Еволютою напівкубічної параболи $a\cdot y^{2}=x^{3}$ є крива $a\cdot (a-18x)^{3}=\left(54a\cdot x+{\frac {729}{16}}\cdot y^{2}+a^{2}\right)^{2}$.^{:стор.187}

• Напівкубічна парабола є каустикою кривої Чирнгаузена. Більше того, будь-яка каустика вигляду ластівчин хвіт поблизу вершини добре наближається навікубічною параболою, що робить цю криву еталонною в теорії катастроф.

• Напівкубічна парабола є ізохронною кривою.
  В 17 столітті Ляйбніц запропонував задачу: знайти криву таку, що важка матеріальна точка, рухаючись під дією сили тяжіння вздовж дуги цієї кривої, має сталу швидкість віддалення від початкового горизонту (тобто швидкісь падіння).
  Задача була вирішена Ґюйґенсом в 1867 році. Шуканою кривою виявилась напівкубічна парабола. ^{:стор.185}

Історія

Названа на честь Вільяма Нейла, який знайшов в 1660 р. довжину її дуги. Це була перша крива, після кола, довжину дуги якої вдалось порахувати. Також вдалось помітити особливість — тіло, що рухається вниз по напівкубічній кривій під дією сили тяжіння проходить однакові відстані у вертикальному напрямі за однакові проміжки часу.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 85–87. ISBN 0-486-60288-5.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.

• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1961.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Semicubical Parabola(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), parabola Semi-cubic parabola, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Neile's Semi-cubical Parabola (MacTutor History of Mathematics Archive)
• Ferréol Robert , SEMICUBICAL PARABOLA, на сайті MATHCURVE.COM, 2019
• Xah Lee. Semicubic Parabola