Локон Аньєзі

Локон Аньєзі

Локон Аньєзі (також верзієра Аньєзі , кубіка Аньєзі, дзвоноподібна крива Коші ) — плоска алгебрична раціональна крива третього порядку, що визначається двома діаметрально протилежними точками кола.

Анімація, що ілюструє утворення локона Аньєзі

Означення

• Нехай дано коло діаметром $OA$ з опорною точкою $O=(0;0)$ в початку координат. Січна $OL$ (дотична до кола $AL\parallel Ox$) перетинає це коло в точці $C$. Проведено прямі $CM\perp OA$ та $LM\parallel OA$. Геометричне місце точок $M$ перетину цих прямих є локоном Аньєзі. ^{:стор.237}

• Також, локон Аньєзі  ^{:стор.806 ; :стор.89} — геометричне місце точок $M$, для яких виконується співвідношення $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$

де $OA$ — діаметр кола;
$BC$ — напівхорда цього кола, перпендикулярна до $OA$.

Свою назву "локон Аньєзі" крива отримала на честь італійської математикині Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Лінія четвертого порядку, що складається з локона Аньєзі та прямої, що збігається з віссю абсцис, є одним з випадків кривих, під назвою яйце Гренвіля

Рівняння

Нехай твірне коло локона Аньєзі має точку опори $O=(0,0)$, в початку координат. Діаметрально протилежна точка кола $A=(0,a)$ лежить на осі $Oy$, тобто діаметр твірного кола дорівнює $OA=a$.
Тоді локон Аньєзі має наступні рівняння:

• У декартовій системі координат:

$y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$.

або ж:

$x^{2}y=a^{2}\cdot (a-y)$.

Виведення  

Координати точки $M$, що лежить на локоні — $x=BM$, $y=OB$. $OA=a$ і за визначенням будуємо пропорцію

$\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}$

Звідси

$\textstyle BC={\frac {xy}{a}}$

З іншого боку $BC$ може бути знайдений з рівняння кола:

$\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}$

Нам відомий $y=OB$, значить виражаємо $x^{2}$:

$\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Прирівнюємо обидва вирази для $BC$:

$\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$

Зводимо в квадрат, переносимо та виносимо $y^{2}$ за дужки:

$\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay$

Виражаємо y (y=0 не підходить за визначенням):

$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$

При $a=1$ рівняння кривої матиме вигляд:

$y={\frac {1}{1+x^{2}}}$.

Ця крива є графіком похідної функції арктангенса.

• Параметричне рівняння в декартовій системі координат ^{:стор.238}:

${\begin{cases}x(\varphi )=a\cdot \operatorname {tg} \,\varphi \\y(\varphi )=a\cdot \cos ^{2}\varphi \end{cases}}\,\qquad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}$,

де параметр $\varphi =\angle AOC$ — кут між $OA$ і $OC$; точці $A$ відповідає значення $\varphi =0$.

Виведення  

Координати точки $M$ однозначно визначаються кутом $\varphi$ між $OB$ і $OC$. Якщо $OB=y$, а $BM=x$, тоді за визначенням локону можна скласти пропорцію

$\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}$

$OA$ за визначенням дорівнює $a$. З трикутника $OBC$: $BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi$, значить

$\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }}$

звідси $x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi$. Цю формулу підставляємо в рівняння кривої:

$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}$

$\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}$

Використавши тотожність, отримаємо

$y=a\cos ^{2}\varphi$

• Раціональна параметризація для кривої має вигляд:

${\begin{cases}x(t)=a\cdot t\\y(t)={\frac {a}{1+t^{2}}}\end{cases}}\,;\qquad -\infty <t<+\infty$ ;

• У полярній системі координат рівняння локону досить складне; щоб його знайти, треба розв'язати кубічне рівняння:

$\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }}$

$\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0$

Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.

Властивості

• Локон Аньєзі — алгебрична раціональна крива третього порядку.
  

Згідно класифікації Ньютона кривих третього порядку, локон Аньєзі є гіперболізмом кола та має нескінченно віддалену ізольовану точку на осі $Oy$. ^{:стор.214}

• Діаметр $OA$ єдина вісь симетрії кривої. Вісь $Ox$ (дотична до твірного кола в його точці опори) — асимптота локона Аньєзі.
• Крива має один максимум — $A(0;a)$ і дві точки перегину, що відповідають параметричним кутам $\varphi =\pm {\frac {\pi }{6}}$ та мають координати  : $\textstyle P_{1}\left(-{\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)$ та $\textstyle P_{2}\left({\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)$. ^{:стор.238}
  

Точки перегину лежать на прямих $y=\pm {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot x$

Кути $\alpha _{1}$ та $\alpha _{2}$ між дотичними в точках перегину $P_{1}$ та $P_{2}$ та додатнім напрямом осі $Ox$ можна визначити за формулами:

$\operatorname {tg} \,\alpha _{1,2}=\mp {\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}$

Для побудови дотичних $P_{1}F$ та $P_{2}F$ достатньо відкласти відрізок $AF={\frac {a}{8}}$ на продовженні діаметра $OA$ (у випадку представлених вище рівнянь кривої — точка $F$ знаходиться на осі $Oy$ та має координати $F=\left(0\,;\,a+{\frac {a}{8}}\right)$).

• В околі вершини $A$ локон наближається до кола діаметром $OA$. У точці $A$ відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці $A$: $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$.
  

Центр кривини кривої в точці $A$ збігається з центром твірного кола.

• Площа під графіком (між кривою і асимптотою): $S=\pi a^{2}$. ^{:стор.238}
  

Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій числовій прямій $\textstyle \mathbb {R}$ , і дорівнює площі визначального круга, помноженій на 4.

• Центр мас фігури, що обмежена кривою та її асимптотою лежить на осі симетріі, на відстані ${\frac {a}{4}}$ від асимптоти, . (у випадку представлених вище рівнянь кривої — центр мас знаходиться на осі $Oy$ та має координати $\left(0\,;\,{\frac {a}{4}}\right)$). ^{:стор.238}

• Найбільший за площею прямокутник, який можна вписати між кривою та її асимптотою, має висоту, що дорівнює радіусу визначального кола, і ширину, що дорівнює подвоєному діаметру кола. Його площа: $S=a^{2}$.
• Об'єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо своєї асимптоти (осі $Ox$): $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}}{2}}\cdot a^{3}$. ^{:стор.238} .
  

Цей об'єм вдвічі більший за об'єм тора, утвореного при обертанні визначального кола локона Аньєзі навколо цієї ж прямої.
Об'єм тіла, утвореного при обертанні локона Аньєзі навколо осі симетрії (в нашому випадку навколо осі $Oy$) має нескінченне значення. ^{:стор.760}

Побудова

Побудова локону Аньєзі

1. Будуємо коло діаметром $OA=a$ і через нижню точку кола О проводимо дотичну Ox.
2. Через верхню точку кола A (діаметрально протилежну до О) проводимо пряму, паралельну до Ох.
3. Через точку О проводимо січну ОL, яка перетинає коло в точці C і верхню пряму в точці L.
4. Через точку C проводимо пряму, паралельну до Ох, а через L проводимо пряму, паралельну до діаметра ОA. Ці дві прямі перетинаються в точці M, яка належить локону Аньєзі.

Споріднені криві та деякі узагальнення

• Коли точка $M$ окреслює локон Аньєзі (див. означення локона Аньєзі вище), то точка, що знаходиться в середині відрізка $CL$ окреслить криву

$(2y-a)\cdot (x^{2}+y^{2})=a\cdot y^{2}$.

Цю криву називають візієрою Пеано або супровідною цисоїди ^{:стор.214, п.1}

Параметричні рівняння цієї кривої:

${\begin{cases}x(t)={\frac {a\cdot t\cdot (t^{2}+2)}{2(t^{2}+1)}}\\y(t)={\frac {a\cdot (t^{2}+2)}{2(t^{2}+1)}}\end{cases}}\,;\qquad -\infty <t<+\infty$ .

де $OA=a$ — діаметр твірного кола локона Аньєзі (також і візієри Пеано); ' Візієра має ізольовану точку $O=(0;0)$ та асимптоту $y={\frac {a}{2}}$

Візієра має один максимум в точці $A=(0;a)$ та дві точки перегину, що мають координати  : $\textstyle Q_{1,2}=\left(\pm {\frac {4a}{5}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}};{\frac {4a}{5}}\right)$.

Площа, що міститься між візієрою та її асимптотою дорівнює $S=5\pi a^{2}$.

Побудова ^{:стор.214, п.3}
Пряма $\ell$, що проходить через початок координат, перетинає коло $x^{2}+y^{2}=2r\cdot y$ в точці $E$, а пряму $y=2r$ — в точці $F$. Через проєкцію $C$ точки $F$ на вісь $Ox$ проведено пряму, що паралельна до $\ell$.
Точка $P$ її перетину з перпендикуляром із $E$ на $Oy$ належить візієрі

$x^{2}\cdot y=(2r+y)^{2}\cdot (2r-y)$.

• В колі $K$ з центром $C$ та радіусом $r$проведено хорду $OB$. Кут між $CO$ та $OB$ дорівнює $\alpha$. Змінна пряма $\ell$, що проведена через $O$, перетинає коло в точці $D$, і в точці $E$ дотичну до кола в його точці $B$. На прямій $\ell$ відкладаємо відрізок $EP$, що дорівнює $OD$ ( в тому ж напрямі).
  

Точка $P$ окреслює криву

$(x^{2}+y^{2})\cdot (x\cdot \cos \alpha +y\cdot \sin \alpha -4r\cdot \cos ^{2}\alpha )+2r\cdot y^{2}=0$,

яку називають косою візієрою (за вісь $Ox$ прийнято пряму $OB$; початок координат знаходиться в точці $O$).

Подвійна точка $O$ є або вузловою, або точкою звороту, або ізольованою, в залежності від співвідношення $\alpha \lesseqgtr {\frac {\pi }{4}}$.

Особливий фокус кривої знаходиться в центрі кола $K$. А окремому випадку, при $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$, крива є цисоїдою. ^{:стор.214 - 215, п.4}

• Псевдоверзієра (також псевдо-локон) . ^{:стор.290 ;}

^{:стор.238 ; :стор.215, п.5} — крива, що утворюється шляхом подвоєння ординат локона Аньєзі.

Означення Нехай з точки $D=(0;2a)$ проведено перпендикуляр $DN$ на змінну пряму $OL=\ell$ (точка $O=(0;0)$— початок координат).
З точки $N$ їх перетину проведено пряму $NM\parallel Ox$, що перетинає вісь $Oy$ в точці $E$. Із точки $L$ перетину прямих $OL=\ell$ та $AL\quad \textstyle {(y=a)}$ проведено пряму $LM\parallel Oy$. Геометричне місце точок $M$ перетину прямих $NM$ та $LM$ є псевдоверзієрою.
Її рівняння у декартовій системі координат ^{:стор.215, п.5}:

$y={\frac {2a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$.

або ж:

$x^{2}y=a^{2}\cdot (2a-y)$.

Цю криву досліджував Дж. Грегорі в 1658 і використовував Готфрід Лейбніц у 1674 році, виводячи вираз: ^{:стор.238}

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...$

• Узагальненням локона Аньєзі можуть бути криві:
  • Аньєзіана ^{:стор.215, п.6} — пряма $AL$ (див. означення локона Аньєзі) займає довільне положення, та перпендикулярна до $OA$.

Означення Пряма $\ell$, що проходить через початок координат $O=(0;0)$, перетинає коло $x^{2}+y^{2}=a\cdot y$ та пряму $y=b$ в точках $C$ та $L$ відповідно. Точка $M$ перетину прямих $CM$ та $LM$, що паралельні до осей координат $Ox$ та $Oy$ відповідно, окреслює криву

$y\cdot (b^{2}+x^{2})=ab^{2}$.

яку називають аньєзіаною.

У випадку $a=b$, крива є локоном Аньєзі; а у випадку $a=2b$ — псевдо-локоном.

• • Агвінея Ньютона — не тільки пряма $AL$, а ще й полюс $O$ займає довільне положення.

Див. також

• Крива
• Кубика
• Розподіл Коші

Література

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.

• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1961.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Witch of Agnesi(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Witch of Agnesi [Архівовано 8 грудня 2011 у Wayback Machine.] by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Witch of Agnesi [Архівовано 7 червня 2011 у Wayback Machine.] - Mathforum.org Java applet
• Witch of Agnesi Encyclopedia of Mathematics.
• Ferréol Robert , WITCH OF AGNESI, на сайті MATHCURVE.COM, 2019
• MacTutor History of Mathematics Archive. "Witch of Agnesi."
• Xah Lee. Witch of Agnesi