Кубічний сплайн

Кубічний сплайн — гладка функція, область визначення якої розбито на скінченне число відрізків, на кожному з яких вона збігається з деяким кубічним многочленом.

Опис

Функція $f(x)$ задано на відрізку $[a,b]$, розбитому на частини $[x_{i-1},x_{i}]$, $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$. Кубічним сплайном дефекту 1 (різниця між степенем і гладкістю сплайна) називається функція $S(x)$, яка:

• на кожному відрізку $[x_{i-1},x_{i}]$ є многочленом степеня не вище від трьох;
• має неперервні першу і другу похідні на всьому відрізку $[a,b]$;
• в точках $x_{i}$ виконується рівність $S(x_{i})=f(x_{i})$, тобто сплайн $S(x)$ інтерполює функцію $f$в точках $x_{i}$.

Для однозначного задання сплайна перелічених умов недостатньо, для побудови сплайна необхідно накласти додаткові вимоги — граничні умови:

1. «Природний сплайн» — граничні умови виду: $S''(a)=S''(b)=0$;
2. Неперервність другої похідної — граничні умови виду: $S'''(a)=S'''(b)=0$;
3. Періодичний сплайн — граничні умови виду: $S'(a)=S'(b)$і $S''(a)=S''(b)$.

Теорема. Для будь-якої функції $f$ і будь-якого розбиття відрізка $[a,b]$ на частини $[x_{i-1},x_{i}]$існує рівно один природний сплайн $S_{i}(x)$, що задовольняє переліченим вище умовам.

Ця теорема є наслідком загальнішої теореми Шенберга — Вітні про умови існування інтерполяційного сплайна.

Побудова

На кожному відрізку $[x_{i-1},x_{i}],\ i={\overline {1,N}}$ функція $S(x)$ є многочленом третього степеня $S_{i}(x)$, коефіцієнти якого треба визначити. Запишемо для зручності $S_{i}(x)$ у вигляді:

$S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3}$

тоді

$S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N}}.$

Умови неперервності всіх похідних до другого порядку включно записуються у вигляді

$S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),$

$S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),$

$S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),$

де $i$ змінюється від $1$ до $N,$ а умови інтерполяції у вигляді

$S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).$

Позначимо$:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N}}),\quad f_{i}=f(x_{i})\quad (i={\overline {0,N}})$

Звідси отримуємо формули для обчислення коефіцієнтів «природного сплайна»:

$a_{i}=f(x_{i})$;

$d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}$;

$b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}+{\frac {2\cdot c_{i}+c_{i-1}}{3}}\cdot h_{i}$;

$c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}\right)$,

причому $c_{N}=S''(x_{N})=0$ і $c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0$.

Якщо врахувати, що $c_{0}=c_{N}=0$, то $c$ можна обчислити методом прогонки для тридіагональної матриці.

Література

1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York : Springer-Verlag, 1978.
2. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — 2-е, перераб. и доп. — М. : Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
3. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
4. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М. : Наука, 1987. — С. 63-68.

Посилання

• Інтерполяція кубічними сплайнами на JavaScript [Архівовано 26 вересня 2016 у Wayback Machine.](рос.)
• Cubic Interpolation [Архівовано 25 лютого 2021 у Wayback Machine.]