Троянда (плоска крива)

Деякі приклади троянд , що мають рівняння $\rho =\cos k\varphi$ в полярній системі координат при різних значеннях $k=n/d$.

Троянда (також крива Гвідо Гранді^{:стор.302}, або родонія) — плоска крива, яка в полярній системі координат задана рівнянням:

$\rho =a\cdot \sin k\varphi \quad$ або $\quad \rho =a\cdot \cos k\varphi .$

Тут $a$ та $k$ — сталі, які відповідно визначають розмір та кількість пелюсток троянди.

Назву «rhodonea» кривим дав італійський математик Ґвідо Ґранді за їх схожість з пелюстками квітів; він вивчав їх у 1723—1728 роках і описав в своїй роботі «Flores geometrici» (1728).

Троянди є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.

Рівняння

• В полярній системі координат крива описується рівнянням у вигляді:

$\rho =a\cdot \cos k\varphi$

Тут $a$ і $k$ — сталі, що визначають розмір (a) і кількість пелюсток (k) даної троянди; числа $p$ та $q$  — взаємно прості, тобто НСД {p;q} = 1.

При цьому, початок координат $O(0,0)$ — полюс, багатократна вузлова точка, а одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі $Ox$.

Рівняння троянди в полярній системі координат можна також записати через функцію синуса:

$\rho =a\cdot \sin k\varphi .$

Зокрема,

$\sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)$.

Таким чином, троянда, що задана рівнянням r = a· sin(kφ) є ідентичною до кривої, що задана рівнянням r = a· cos(kφ), але повернутою відносно полюса проти годинникової стрілки на кут π/2k радіан, що становить чверть періоду синусоїди.
При цьому, одна з пелюсток троянди орієнтована вздовж осі $Oy$.

• Рівняння троянди в декартовій системі координат в параметричному виді має вигляд:

${\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos kt\cdot \cos t\\y(t)=a\cdot \cos kt\cdot \sin t\end{cases}}$

• Троянда, що задана полярним рівнянням r = a· sin(kφ) може бути представлена в декартовій системі координат рівнянням в неявному виді:^{:стор.163}

${\begin{aligned}a^{q}\cdot &\left({\binom {p}{1}}\cdot x^{p-1}y-{\binom {p}{3}}\cdot x^{p-3}y^{3}+{\binom {p}{5}}\cdot x^{p-5}y^{5}-\cdots \right)=\,\\&={\binom {q}{1}}\cdot (x^{2}+y^{2})^{\frac {p+1}{2}}\cdot (a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{\frac {q-1}{2}}-{\binom {q}{3}}\cdot (x^{2}+y^{2})^{\frac {p-1}{2}}\cdot (a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{\frac {q-3}{2}}+\cdots \end{aligned}}$

Дане рівняння буде раціональним (а крива алгебричною), якщо числа $p$ та $q$  — обидва непарні. В цьому випадку степінь рівняння, а отже, і порядок кривої дорівнює p + q.
Якщо одне з чисел $p$ або $q$ є парним, то рівняння буде раціональним тільки після підведення обох його частин до квадрату. В цьому випадку степінь рівняння, а отже, і порядок кривої дорівнює 2·(p + q).

Метричні характеристики

Нехай троянда задана в полярній системі координат рівнянням r = a· cos(kφ) або r = a· sin(kφ), де k — натуральне число. Тоді:

• Довжина дуги однієї пелюстки троянди:

$\ell ={\frac {2a}{k}}\cdot \mathrm {E} \left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)$

де $\mathrm {E} (k)$ — повний еліптичний інтеграл другого роду.

Також:

$\ell =2a\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)\cdot \sin ^{2}t}}\,dt\,\approx a{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {1+k^{2}}}.$

• Площа области, що обмежена трояндою:

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\varphi ))^{2}\,d\varphi &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{для парних }}k\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\varphi ))^{2}\,d\varphi &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{для непарних }}k\end{aligned}}$

При парних k троянда має 2k пелюсток, а при непарних k кількість пелюсток дорівнює k; отже, площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює πa²/4k.

Властивості та особливості форми

• Вся крива розташовується всередині кола радіуса $a$ і в разі $k>1$ складається з однакових за формою та розміром пелюсток.
• Якщо $k={\frac {p}{q}}$ — раціональне число (зокрема і натуральне), то троянда є алгебричною кривою порядку p + q, якщо числа $p$ та $q$  — обидва непарні; та порядку 2·(p + q), якщо одне з них — парне.

Кількість різних троянд одного й того ж порядку $m$, у випадку, коли $m$ кратне чотирьом, дорівнює значенню функції $\pi (m)$, що визначає кількість простих чисел, менших за $m$.^{:стор.164}
Якщо $m$ ділиться лише на 2, то кількість троянд порядку $m$ дорівнює $\pi (m)+\pi \left({\frac {m}{2}}\right)$.
Зокрема, кількість троянд 4-го порядку дорівнює $\pi (4)=2\quad \left(k=3,k={\frac {1}{3}}\right)$;
кількість троянд 6-го порядку дорівнює $\pi (6)+\pi (3)=4\quad \left(k=2,k={\frac {1}{2}},k=5,k={\frac {1}{5}}\right)$

Пелюстки

Кількість пелюсток троянди залежить від значення модуля $k$:

$k$ — натуральне число

• 

  Приклади троянд $r=\cos(k\varphi )$з натуральним модулем $k=n=2,3,4,5$

  Якщо $k=n$ — натуральне число, то троянда має $k$ пелюсток, якщо $k$ непарне і $2k$ пелюсток, — якщо парне.
  Пелюстки не перекривають одна одну; початок координат (полюс) є вузловою точкою, відповідно $k$-го або $2k$-го порядку.

Окремі випадки

• Чотирипелюсткова троянда (квадрифолій)

$\rho =a\cdot \cos 2\varphi \quad$ або $\quad \rho =a\cdot \sin 2\varphi .$

Троянда з модулем k = 2; має 2k = 4 пелюсток, вершини яких є вершинами квадрата. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}$

та

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=4\left(axy\right)^{2}$.

• Трипелюсткова троянда (трифолій)

$\rho =a\cdot \cos 3\varphi \quad$ або $\quad \rho =a\cdot \sin 3\varphi .$

Троянда з модулем k = 3; має k = 3 пелюстки, вершини яких є вершинами рівностороннього трикутника.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(x^{3}-3xy^{2}\right)$

та

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(3x^{2}y-y^{3}\right)$

• 8-пелюсткова троянда (октофолій)

$\rho =a\cdot \cos 4\varphi \quad$ або $\quad \rho =a\cdot \sin 4\varphi .$

Троянда з модулем k = 4; має 2k = 8 пелюсток, вершини яких є вершинами правильного восьмикутника. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=a^{2}\left(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\right)^{2}$

and

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=16a^{2}\left(xy^{3}-yx^{3}\right)^{2}$

• 5-пелюсткова троянда (пентафолій)

$\rho =a\cdot \cos 5\varphi \quad$ або $\quad \rho =a\cdot \sin 5\varphi .$

Троянда з модулем k = 5; має k = 5 пелюсток, вершини яких є вершинами правильного п'ятикутника.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\right)$

та

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\right)$.

• 12-пелюсткова троянда (додекафолій)

$\rho =a\cdot \cos 6\varphi \quad$ або $\quad \rho =a\cdot \sin 6\varphi .$

Троянда з модулем k = 6; має 2k = 12 пелюсток, вершини яких є вершинами правильного 12-кутника. Має центр симетрії.
В декартовій системі координат крива має рівняння (косинус- та синус варіанти відповідно):

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=a^{2}\left(x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}\right)^{2}$

та

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=4a^{2}\left(3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}\right)^{2}$

$k$ — раціональне число

• 

  Приклади троянд $r=\cos(k\varphi )$з раціональним модулем $k={\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{5}}$

  Якщо $k={\frac {p}{q}}>1$ — нескоротний дріб, де $p$ і $q$ взаємно прості, кількість пелюсток троянди рівне $p$, якщо обидва числа непарні і $2p$, якщо хоча б одне з них парне.
  Пелюстки частково перекривають одна одну.
  

Якщо $p$ непарне, а $q$ парне, то троянди $\rho =a\cdot \cos k\varphi \quad$ та $\quad \rho =a\cdot \sin k\varphi$ повністю збігаються.

Окремі випадки

• Пелюстка Дюрера

$\rho =a\cdot \cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\quad$ або $\quad \rho =a\cdot \sin \left({\frac {\varphi }{2}}\right)$

Троянда з модулем k = 1/2. Названа на честь німецького художника і гравера Альбрехта Дюрера.
Троянди, що задані рівняннями в косинус- або синус варіанті, повністю збігаються, незважаючи на те, що a cos(θ/2) ≠ a sin(θ/2).
Рівняння кривої в декартовій системі координат:

$\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(2\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}\right)^{2}=a^{4}x^{2}$

Пелюстка Дюрера є трисектрисою, тобто може бути використана для трисекції кутів.

• 

  Равлик Паскаля (трисектриса)

Троянда

$\rho =2a\cdot \cos \left({\frac {\varphi }{3}}\right)$

з модулем k = 1/3 є равликом Паскаля $\rho =a\cdot (1+2\cos \varphi )$. Криві, задані цими рівняннями повністю ідентичні, але не збігаються в системі координат.
Крива має одну пелюстку з двома петлями.

Крива є трисектрисою, тобто може використовуватись для трисекції кутів.

$k$ — ірраціональне число

• 

  Приклад троянди $r=\cos(k\varphi )$ з ірраціональним модулем $k=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi$

  При $k$ ірраціональному пелюсток нескінченно багато; крива не є алгебричною, незамкнена і щільно заповнює круг радіусом $a$ і центром в початку координат.

Симетрія

Троянда, що задана полярним рівнянням $\rho =a\cdot \cos k\varphi$ при $k={\frac {p}{q}}$ — раціональне число, симетрична відносно осі $Ox$. Також:

• Якщо $k$ — парне натуральне число, то крива має $2k$ осей симетрії $y=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi \cdot n}{2k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,2k-1)$;
  Полюс $O(0,0)$ є центром симетрії троянди.
• Якщо $p$ та $q$ непарні (зокрема, $k$ — непарне натуральне число), то крива має $p$ осей симетрії $y=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi \cdot n}{k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,p-1)$, що проходять через вершину кожної пелюстки.
  Центру симетрії не має.
• Якщо $p$ та $q$ різної парности, то троянда має $2p$ осей симетрії:
  — $p$ осей з рівнянням $y=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi \cdot n}{k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,p-1)$, що проходять через протилежні вершини пелюсток;
  — $p$ осей з рівнянням $y=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi \cdot n}{k}}\right)\cdot x\quad (n=0,1,...,p-1)$, які не проходять через вершини пелюсток.
  Полюс $O(0,0)$ є центром симетрії троянди.

Кінематичне та механічне утворення троянд

Приклади утворення троянд як гіпотрохоїд та епітрохоїд.

• При значеннях $k>1$ троянда є гіпотрохоїдою, а при $k<1$ — епітрохоїдою.^{:стор.164}

Троянда $\quad \rho =a\cdot \cos k\varphi$ є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює $R={\frac {a\cdot k}{k+1}}$, радіус твірного (рухомого) кола дорівнює $r={\frac {a\cdot (k-1)}{2(k+1)}}$, а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює ${\frac {a}{2}}$. ^{:стор.235}

Також троянди є подерами епі- та гіпоциклоїд відносно центра їх нерухомого кола.^{:стор.164}

• Нехай два рівних відрізка $OA$ та $AM$ довжиною $a$ обертаються навколо точок $O$ та $A$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\frac {\omega _{OA}}{\omega _{AM}}}=p$.
  Тоді траєкторією точки $M$ буде троянда.
• Нехай два радіуси $OA$ та $OB$ деякого кола обертаються навколо точки $O$ зі швидкостями, відношення яких дорівнює ${\frac {\omega _{OA}}{\omega _{OB}}}=p$.
  Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки $A$ на $OB$ є троянда.^{:стор.165}

• Утворення троянди одним з кінематичних способів

  

  
  Якщо деяка точка здійснює гармонічні коливання вздовж прямої, що обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо нерухомої точки — центра коливань, то траекторією цієї точки буде троянда.^{:стор.166}

Прикдади троянд r = cos(kφ), що утворені при обертанні зубчастих коліс з різним передаточним відношенням.
Промені, що відображені на графіках, є полярною віссю та віссю φ = π/2.
Побудова графіка починається з точки φ = 2π, якщо k — натуральне число, та з точки φ = 2q·π в іншому випадку, та відбувається за годинниковою стрілкою до точки φ = 0.

Коло, k = 1 (p = 1, q = 1). Крива замикається при φ = π (половина оберту веденого зубчастого колеса).

Равлик Паскаля $r=a(1+2\cos \varphi )$, (що є трисектрисою), k = 1/3 (p = 1, q = 3), має одну пелюстку з двома петлями. Крива замикається при φ = 3π (3/2 оберта веденого колеса).

Трипелюсткова троянда (трифолій), k = 3 (p = 3, q = 1). Крива замикається при φ = π (половина оберта веденого колеса).

П'ятипелюсткова троянда (пентафолій), k = 5 (p = 5, q = 1). Крива замикається при φ = π (половина оберта веденого колеса).

8-пелюсткова троянда (октофолій), k = 4 (p = 4, q = 1). Крива замикається при φ = 2π (повний оберт веденого колеса).

Троянда з 8 пелюстками k = 4/5 (p = 4, q = 5), пелюстки утворені петлею, що самоперетинається. Крива має центр симетрії. Замикається при φ = 10π (п'ять обертів веденого колеса).

Див. також

• Трипелюсткова троянда
• Чотирипелюсткова троянда

Література

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.

• Loria, Gino. Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi // Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — С. 297— 306. — ISBN 5-7036-0027-8.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Rose Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Roses (curves) Encyclopedia of Mathematics. , 2014.
• Ferréol Robert , ROSE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• MacTutor History of Mathematics Archive. «Rhodonea Curves.»
• Xah Lee. Rose
• Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com.
• Аплет для створення троянд з параметром k