Каппа (плоска крива)

Крива «Каппа» з двома асимптотами.

Каппа (також крива Ґутшовена) — плоска алгебрична крива 4-го порядку з однією особливою точкою (вироджений вузол), двома асимптотами та двома осями симетрії.

Означення:
Криву можна означити як геометричне місце точок дотику дотичних, проведених з початку координат (точки $O(0,0)$) до кола радіуса $a$, центр якого переміщується вздовж осі абсцис (осі $Ox$).^{:стор.302 ; :стор.140}

Також криву можна означити наступним чином (Барроу):
На полярній осі відкладаємо відрізок $OA=a$ і в точці $A$ проводимо перпендикуляр до цієї осі. Із полюса проводимо довільний промінь, що перетинає цей перпендикуляр в точці $B$. На променю відкладаємо відрізок $OM=BA$; геометричне місце точок $M$ при обертанні променя навколо полюса $O$ є каппою.^{:стор.141}

Також криву можна означити наступним чином:
Проводимо коло з центром в початку координат і радіусом $a$. Проводимо довільний радіус $OA$ та перпендикулярно до нього промінь $ON$. Паралельно до полярної осі проводимо пряму $AM$ до її перетину з променем $ON$ в точці $M$. Геометричне місце точок $M$ є каппою.^{:стор.141}

Крива вперше вивчалася математиком Джерардом ван Ґутшовеном в 1662р. Пізніше її досліджували Ісаак Ньютон та Йоганн Бернуллі.

Рівняння

• Рівняння кривої в декартовій системі координат в неявному виді:^{:стор.302 ;:стор.140}

$(x^{2}+y^{2})\cdot y^{2}=a^{2}\cdot x^{2}$

При цьому початок координат є вузловою точкою кривої, осі координат є осями симетрії кривої, а прямі $y=\pm a$ є асимптотами кривої.

Рівняння $y=\pm {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$ описує криву, що повернута відносно початку координат на π/2 радіан, тобто має асимптоти $x=\pm a$.

• Рівняння кривої в декартовій системі координат в параметричному виді:

${\begin{cases}x(t)=a\cdot \operatorname {ctg} t\cdot \cos t\\y(t)=a\cdot \cos t\end{cases}}\,,\quad t\in (-\pi ,0)\cup (0,\pi )$

• Рівняння кривої в полярній системі координат:

$\rho =a\cdot \operatorname {ctg} \varphi \,,\quad \varphi \in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )$

Рівняння $\rho =a\cdot \operatorname {tg} \varphi$ описує криву, що повернута відносно полюса на π/2 радіан, тобто має асимптоти $x=\pm a$.

Метричні характеристики

• Площа
  

Квадратуру каппи вперше здійснив Ґюйґенс, довівши що площа области, яка обмежена віссю ординат (віссю $Oy$), гілкою каппи та її асимптотою дорівнює половині площі твірного круга: ^{:стор.142}

$S={\frac {\pi \cdot a^{2}}{2}}$

• Кривина кривої в точці, що відповідає полярному куту $\varphi$:

$\kappa (\varphi )={\frac {8\left(3-\sin ^{2}\varphi \right)\sin ^{4}\varphi }{a\left[\sin ^{2}(2\varphi )+4\right]^{3/2}}}$

• Кут нахилу дотичної в точці, що відповідає полярному куту $\varphi$:

$\phi (\varphi )=-\arctan \left[{\frac {1}{2}}\sin(2\varphi )\right]$

Властивості та особливості форми

• Каппа є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку, роду 0.
  Каппа є необмеженою зв'язною центральносиметричною кривою з однією особливою точкою (вироджений вузол) в початку координат. Точка $O(0,0)$ — точка самоперетину. Пряма $x=0$ — дотична у вузловій точці. Має дві взаємноперпендикулярні осі симетрії (осі координат). Має дві горизонтальні асимптоти $y=\pm a$.^:стор.91

• Каппа є радіальною кривою трактриси.

• Каппа належить до сімейства кривих, що мають рівняння $\rho =a\cdot \operatorname {ctg} (k\varphi )$ в полярній системі координат.
  Ці криві мають назву «вузли» (англ. nodal curve). Всі криві цього сімейства мають в початку координат $O(0,0)$ вузлову точку, та асимптоти, які паралельні до координатних осей.
  До цього сімейства, зокрема, належить також строфоїда $\left(k={\frac {1}{2}}\right)$, та крива «вітровий млин» $\left(k=2\right)$.^{:стор.302 ;}
  Особливістю цих кривих є те, що застосовуючи до вузла $\rho =a\cdot \operatorname {ctg} (k\varphi )$ інверсію відносно початку координат, отримаємо також вузол $\rho =a\cdot \operatorname {tg} (k\varphi )$, що конгруентний даному, але повернутий на π/2 радіан.^{:стор.142}

Дотичні через нескінченно малі

Дотичні до кривої «каппа» можна також визначити геометрично, використовуючи диференціали та елементарні правила арифметики нескінченно малих. Нехай x і y — змінні, а $a$ — деяка стала. З означення каппи маємо:

$x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}=0$

Тепер, нескінченно мала зміна положення точки повинна також змінити значення лівої частини, так що

$d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}\right)=0$

Обчислюємо диференціал, застосовуючи правила диференціювання:

${\begin{aligned}d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)-d\left(a^{2}y^{2}\right)&=0\\[6px](2x\,dx)\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}(2x\,dx+2y\,dy)-a^{2}2y\,dy&=0\\[6px]\left(4x^{3}+2xy^{2}\right)dx+\left(2yx^{2}-2a^{2}y\right)dy&=0\\[6px]x\left(2x^{2}+y^{2}\right)dx+y\left(x^{2}-a^{2}\right)dy&=0\\[6px]{\frac {x\left(2x^{2}+y^{2}\right)}{y\left(a^{2}-x^{2}\right)}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}$

Похідна

Якщо використовувати сучасне поняття функціональної залежності y(x) і провести диференціювання неявно заданої функції, то нахил дотичної до кривої в точці (x,y):

${\begin{aligned}2x\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}\left(2x+2y{\frac {dy}{dx}}\right)&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]2x^{3}+2xy^{2}+2x^{3}&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}-2x^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]4x^{3}+2xy^{2}&=\left(2a^{2}y-2x^{2}y\right){\frac {dy}{dx}}\\[6px]{\frac {2x^{3}+xy^{2}}{a^{2}y-x^{2}y}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}$

Література

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• Lawrence, J. Dennis (1972). A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover. с. 139–141. ISBN 0-486-60288-5.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Kappa Curve(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ferréol Robert , Kappa, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Kappa Curve в архіві MacTutor (англ.) (MacTutor History of Mathematics Archive).
• Jan Wassenaar, Kappa Curve, на сайті www.2dcurves.com.
• Kappa Encyclopedia of Mathematics. , 2014.
• Kappa Curve на сайті people.math.carleton.ca