Тризуб (плоска крива)

Тризуб Ньютона

Тризуб Ньютона при
$a=1,\,b=-1,\,c=1,\,d=0.9$

Тризуб Ньютона при
$a=1,\,b=2,\,c=1.2,\,d=0.1$

Тризуб (також тризуб Ньютона) — сімейство плоских алгебричних кривих 3-го порядку.

В класифікації Ньютона кривих 3-го порядку тризуби належать до 5-го класу та є параболізмами гіперболи. ^:стор.26 В цій класифікації тризуб є 66-ю кривою.

Рівняння

В декартовій системі координат тризуби мають рівняння:

$x\cdot y=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d$

де $a\neq 0$

Якщо $d=0$, крива стає виродженою кубикою і складається з параболи $y=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$ та прямої, що збігається з віссю $Oy$; ці дві лінії перетинаються в точці $(c;0)$

Властивості та особливості форми

• Тризуб Ньютона є плоскою алгебричною раціональною кривою 3-го порядку роду 0;
• Тризуб є необмеженою незв'язною кривою, що складається з двох необмежених гіперболо-параболічних гілок.^{:стор.27 ; :стор.200}
  Крива має одну точку перегину і в залежності від кількости дійсних коренів характеристичного рівняння $a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0$ перетинає вісь $Ox$ в одній, або в трьох точках.
  На осі $Oy$ в нескінченній точці крива має подвійну точку.
  Крива має одну параболічну асимптоту $y=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$ та одну прямолінійну асимптоту $x=0$^:стор.27 (а точніше, другою асимптотичною кривою тризуба є гіпербола $y={\frac {d}{x}}$). Обидві асимптоти тризуба є оскулюючими, тобто в нескінченній точці мають з кривою дотик 2-го порядку.

• Окремий випадок тризуба Ньютона досліджувався Рене Декартом. Крива носить назву парабола Декарта (або тризуб Декарта)^{:стор.228 ;} та має рівняння в декартовій системі координат:

$a\cdot xy=(a+x)\cdot (a-x)\cdot (2a-x)$

Див. також

• Кубика
• Класифікація Ньютона кривих 3-го порядку

Література

• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1961.

• Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник. — москва : фазис, 1997. — 336 с. — ISBN 5-7036-0027-8.

• Lawrence, J. Dennis (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Dover Publications. с. 110. ISBN 0-486-60288-5.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Trident of Newton(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Trident of Newton в архіві MacTutor (англ.)
• Ferréol Robert , NEWTON TRIDENT, на сайті MATHCURVE.COM, 2017
• Jan Wassenaar, trident of Newton, на сайті www.2dcurves.com.