Невизначений інтеграл

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Неви́значений інтегра́л для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.

Завдання диференціального числення — обчислення похідної від заданої функції y = f(x). Завдання інтегрального числення протилежне: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Основоположними поняттями інтегрального числення, є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Застосування невизначених інтегралів

• у задачах про обчислення швидкості або прискорення руху тіла;
• у задачах про обчислення визначених інтегралів (див. формулу Ньютона-Лейбніца);
• для розв'язання диференціальних рівнянь.

Невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом від функції f(x)=2x є сукупність її первісних x²+C, де C — довільна стала

Означення. Нехай функція F — первісна для f на J. Невизначеним інтегралом від функції f називається сукупність усіх первісних цієї функції, тобто вираз

$\int f(x)\,dx=F(x)+C,\quad x\in J,$

де C ∈ R — довільна стала.

Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, C  — сталою інтегрування, x — змінною інтегрування.

З геометричної точки зору, невизначений інтеграл — це сукупність (сімейство) ліній F(x) + C (див. Рис.).

Властивості невизначеного інтеграла

З означень первісної та невизначеного інтеграла випливають наступні властивості (за умов існування первісних та похідних на інтервалі J):

$1.\ {\frac {d}{dx}}\int f(x)\,dx=f(x),\quad x\in J;$

$2.\ \int f'(x)\,dx=f(x)+C,\quad x\in J;$

$3.\ \forall \,\alpha \in \mathbb {R} ,\ \alpha \neq 0:\quad \int \alpha f(x)\,dx=\alpha \int f(x)dx,\quad x\in J;$

$4.\ \int (f_{1}(x)+f_{2}(x))\,dx=\int f_{1}(x)\,dx+\int f_{2}(x)\,dx,\quad x\in J.$

Методи обчислення невизначених інтегралів

Для обчислення невизначених інтегралів використовуються

• Таблиця основних формул інтегрування
• Метод підстановки (або формула заміни змінної)
• Метод інтегрування частинами

За допомогою згаданих методів можна обчислювати невизначені інтеграли у вигляді скінченних комбінацій елементарних функцій. Проте, не всі інтеграли можна виразити через елементарні функції. Відомо небагато класів функцій, інтегрування яких, у підсумку дає елементарні функції. До цих класів відносяться раціональні, тригонометричні, показникові функції та функції з радикалами.

Якщо ж інтеграл не можна виразити скінченною комбінацією елементарних функцій, тоді його розглядають як нову функцію (яка є інтегралом Рімана зі змінною верхнею межею інтегрування) і обчислюють за допомогою рядів або нескінченних добутків елементарних функцій.

Так, наприклад, інтеграли

$\int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int e^{x^{2}}\,dx$

існують, проте через елементарні функції не виражаються.

Див. також

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана—Стілтьєса)
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
  • Відомі інтеграли

Література

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Невизначений інтеграл // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 368. — 594 с.