Спіраль Архімеда

Три витки на 360° однієї гілки спіралі Архімеда

Спіраль Архімеда ^{:стор.586 ; :стор.304 ; :стор.8} (також архімедова спіраль ^{:стор.119})  — плоска трансцендентна крива, яку описує точка M під час її рівномірного руху з лінійною швидкістю v уздовж прямої, що рівномірно обертається у площині навколо однієї зі своїх точок О зі сталою кутовою швидкістю ω.

Точку О називають полюсом спіралі Архімеда.

Спіраль названо ім'ям Архімеда, який вивчив її властивості.

Рівняння кривої

• Рівняння спіралі Архімеда у полярній системі координат.
  Якщо в початковий момент руху твірна точка М та полюс О збігаються, а полярна вісь збігається з початковим положенням рухомої прямої, то рівняння спіралі Архімеда у полярній системі координат має вигляд:

$$\rho =a\cdot \varphi$$

де a = k/2 π = v/ω  — параметр, що відповідає зміщенню точки $M$ вздовж прямої, при її повороті на 1 рад;

k = 2 π · a  — крок спіралі Архімеда, тобто відрізок $MM_{1}$, що дорівнює зміщенню точки $M$ при повному оберті прямої;

$\varphi =\omega \cdot t$ — полярний кут твірної точки $M$, тобто кут повороту прямої від свого початкового положення за час $t$..

Права та ліва частини спіралі Архімеда

Додатнім значенням кута $\varphi \quad (\varphi \geq 0)$ відповідає права спіраль, тобто спіраль, закручена проти годинникової стрілки; а від'ємним значенням полярного кута $\varphi \quad (\varphi \leq 0)$ відповідає ліва спіраль (закручена за годинниковою стрілкою). ^{:стор.193}

Рівняння: ^{:стор.587}

$$\rho =a\cdot \varphi +\ell$$

описує спіраль Архімеда з тими ж параметрами, що і у спіралі $\rho =a\cdot \varphi$, тільки повернуту відносно полюса на кут $\alpha =-{\frac {\ell }{a}}$ рад за годинниковою стрілкою.

• Рівняння спіралі Архімеда в декартовій системі координат в неявному виді:^{:стор.192}

$${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=a\cdot \operatorname {arctg} {\left({\frac {y}{x}}\right)}$$

Рівняння повернутої спіралі Архімеда:

$${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=a\cdot \operatorname {arctg} {\left({\frac {y}{x}}\right)}+\ell$$

• Рівняння спіралі Архімеда в декартовій системі координат в параметричному виді:

${\begin{cases}x(\varphi )=a\cdot \varphi \cdot \cos \varphi \\y(\varphi )=a\cdot \varphi \cdot \sin \varphi \end{cases}}\qquad 0\leq \varphi <+\infty$

Метричні характеристики

Нехай спіраль Архімеда задано рівнянням $\rho =a\cdot \varphi$.

Тоді:

Ілюстрація до розрахунку довжини дуги спіралі Архімеда

• Довжина дуги спіралі Архімеда між двома її довільними точками $M_{1}(\rho _{1}\,,\,\varphi _{1})$ та $M_{2}(\rho _{2}\,,\,\varphi _{2})$, що відповідають полярним кутам $\varphi _{1}$ та $\varphi _{2}$: ^{:стор.194}

$${\begin{aligned}L&=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ dl=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {d\rho ^{2}+dh^{2}}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(ad\varphi )^{2}+(\rho d\varphi )^{2}}}=\\&=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {a^{2}\cdot (d\varphi )^{2}+a^{2}\cdot \varphi ^{2}\cdot (d\varphi )^{2}}}=a\cdot \int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}d\varphi =\\&={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \varphi \right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\end{aligned}}$$

Зокрема, довжина дуги спіралі Архімеда від її полюса $O\quad (\varphi _{1}=0)$ до довільної точки $M(\rho \,,\,\varphi )\quad (\varphi _{2}=\varphi )$ дорівнює:

$\ell ={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \varphi \right]$

Також: ^{:стор.780}

${\begin{aligned}\ell &={\frac {1}{2}}\cdot \left[{\frac {\rho \cdot {\sqrt {\rho ^{2}+a^{2}}}}{a}}+\ln \left({\frac {\rho +{\sqrt {\varphi ^{2}+a^{2}}}}{a}}\right)\right]=\\&={\frac {a}{2}}\cdot \left[\operatorname {tg} \alpha \cdot \sec \alpha +\ln \left(\operatorname {tg} \alpha +\sec \alpha \right)\right]\end{aligned}}$

де $\alpha$ — гострий кут між дотичною $MT$ в точці $M$ спіралі Архімеда та радіус-вектором $OM$ цієї точки.

• Площа сектора, що обмежений дугою $M_{1}M_{2}$ спіралі Архімеда та двома радіус-векторами $OM_{1}=\rho _{1}$ та $OM_{2}=\rho _{2}$:

$S_{\text{сект.}}={\frac {1}{a}}\cdot \left(\rho _{2}^{3}-\rho _{1}^{3}\right)$

Також: ^{:стор.779}

$S_{\text{сект.}}={\frac {\omega }{6}}\cdot \left(\rho _{1}^{2}+\rho _{1}\cdot \rho _{2}+\rho _{2}^{2}\right)$.

де $\omega =\angle M_{1}OM_{2}$ — кут між радіус-векторами точок $M_{1}$ та $M_{2}$; центральний кут сектора.
До того ж цей кут не мустить перевищувати $2\pi$ радіан.

Перший виток спіралі Архімеда

Другий виток спіралі Архімеда

• Площа витків спіралі Архімеда. ^{:стор.779—780}

1. 1 Площа першого витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від її полюса $O$ до точки $A$ (полярний кут якої $\varphi =2\pi$) та відрізком $OA$ полярної осі:

$S_{1}={\frac {1}{3}}\cdot \pi k^{2}={\frac {4}{3}}\cdot \pi ^{3}a^{2}={\frac {1}{3}}\cdot S_{1{\text{кр.}}}$

де $S_{1{\text{кр.}}}$ — площа круга з радіусом $OA$;
$k=2\pi \cdot a=OA$ — крок спіралі Архімеда.

Формулу можна отримати з формули площі сектора; стосовно цієї фігури: $\rho _{1}=0\,;\quad \rho _{2}=k=2\pi a\,;\quad \omega =2\pi$.

1. 2 Площа другого витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки $A$ (полярний кут якої $\varphi =2\pi$) до точки $A_{1}$ (полярний кут якої $\varphi =4\pi$) та відрізком $AA_{1}$ полярної осі:

$S_{2}={\frac {7}{3}}\cdot \pi k^{2}={\frac {28}{3}}\cdot \pi ^{3}a^{2}={\frac {7}{12}}\cdot S_{2{\text{кр.}}}$

де $S_{2{\text{кр.}}}$ — площа круга з радіусом $OA_{1}$.

1. 3 Площа n — го витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки $A_{n-1}$ (полярний кут якої $\varphi =2\pi$) до точки $A_{n}$ (полярний кут якої $\varphi =4\pi$) та відрізком $A_{n-1}A_{n}$ полярної осі:

$S_{n}={\frac {n^{3}-(n-1)^{3}}{3}}\cdot \pi k^{2}={\frac {n^{3}-(n-1)^{3}}{3n^{2}}}\cdot S_{n{\text{кр.}}}$

де $S_{n{\text{кр.}}}$ — площа круга з радіусом $OA_{n}$.

Перший виток (нульове кільце) спіралі Архімеда

$n$ —е кільце спіралі Архімеда

• Площа кілець спіралі Архімеда. ^{:стор.780}

1. Перше кільце спіралі Архімеда — фігура, що утворена відрізком $OA$ полярної осі між першим та другим витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут $2\pi$ радіан. Фігура обмежена: 1.Відрізком $OA$; 2. Першим витком; 3. відрізком $AA_{1}$; 4. Другим витком.
2. Друге кільце спіралі Архімеда — фігура, що утворена відрізком $AA_{1}$ полярної осі між другим та третім витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут $2\pi$ радіан. Фігура обмежена: 1.Відрізком $AA_{1}$; 2. Другим витком; 3. відрізком $A_{1}A_{2}$; 4. Третім витком.

Площа $n$ —го кільця спіралі Архімеда:

$F_{n}=S_{n+1}-S_{n}=6n\cdot S_{1}$

де $S_{n}$ — площа $n$-го витка спіралі Архімеда;
$S_{1}={\frac {1}{3}}\cdot \pi k^{2}$ — площа 1-го витка (нульового кільця) спіралі Архімеда.

• Радіус кривини в довільній точці спіралі Архімеда: ^{:стор.780 ;}

$R_{c}=a\cdot {\frac {\left(\varphi ^{2}+1\right)^{3/2}}{\varphi ^{2}+2}}={\frac {\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}{\rho ^{2}+2a^{2}}}={\frac {\left(\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1\right)^{3/2}}{\sec ^{2}\alpha +2}}$.

Трисекція кута та квадратура круга за допомогою спіралі Архімеда

Трисекція кута за допомогою спіралі Архімеда (n=3): $\beta ={\tfrac {\alpha }{3}}$

Згідно означення спіралі Архімеда, відстань від початку координат до точки кривої пропорційна куту повороту полярної осі. А, отже, спіраль Архімеда можливо використовувати для поділу довільного кута на $n$ рівних частин, а також і для квадратури круга. Тому спіраль Архімеда є одночасно трисектрисою (n=3) і квадратрисою. Обидві задачі (трисекцію кута та квадратуру круга) не можна розв'язати лише за допомогою циркуля і лінійки, але якщо дозволити, щоб спіраль Архімеда була єдиним допоміжним засобом, то вони стають вирішуваними.

Щоб розділити $\angle BAC$ на $n$ рівних частин, поєднаємо його зі спіраллю Архімеда таким чином, щоб його сторона $AB$ сумістилася з полярною віссю $Ox$, а вершина $A$ кута сумістилася з полюсом $O$ спіралі Архімеда. Відрізок другої сторони $AD$ кута, від його вершини до точки $D$ перетину цієї сторони зі спіраллю, розділимо на $n$ рівних частин. Використовуючи теорему Фалеса про пропорційні відрізки, це можна зробити лише за допомогою циркуля і лінійки. Для цього проведемо ще один промінь з вершини кута $A$ і за допомогою циркуля позначимо на ньому $n$ однакових за довжиною відрізків. З'єднаємо кінцеву точку останнього відрізка з точкою $D$ і через $n-1$ точки поділу проведемо до цієї лінії низку паралельних ліній до їх перетину з прямою $AC$. Точки перетину паралелей зi стороною $AC$ ділять відрізок $AD$ на $n$ однакових за довжиною відрізків. Далі через кожну з $n-1$ точок поділу відрізка $AD$ з вершини кута $A$ проведемо дуги кіл до їх перетину зі спіраллю Архімеда, і отримані точки на спіралі Архімеда з'єднаємо з вершиною $A$. Таким чином, отримаємо поділ даного кута на $n$ рівних частин.

Квадратура круга, виконана Архімедом

Квадратура круга: F(Кругаїї(M,r))=F(ABCD)=F(CJHG)

Для вирішення задачі квадратури круга, тобто побудови квадрата, рівновеликого даному кругу радіуса $r$, окреслимо коло радіусом $r$ з центром в початку координат, та в цій системі також побудуємо спіраль Архімеда з полюсом в початку координат. Спіраль перетинає вісь y точці $E$ і довжина відрізка $ME$ дорівнює ${\tfrac {r\pi }{2}}$, оскільки відповідний кут повороту полярної осі дорівнює ${\tfrac {\pi }{2}}$. Тоді прямокутник, побудований на діаметрі кола і висотою |ME| має таку ж площу, як і круг. Використовуючи теорему про висоту прямокутного трикутника, прямокутник можна перетворити на квадрат рівної площі.

Див. також

• Гіперболічна спіраль
• Жезл (спіраль)
• Логарифмічна спіраль
• Спіраль Ферма

Посилання

• Weisstein, Eric W. Archimedes' Spiral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• archimedean spiral на PlanetMath.(англ.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Archimedean_spiral, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Spiral of Archimedes на сайті MacTutor (англ.)
• Ferréol Robert , SPIRALE D'ARCHIMÈDE, на сайті MATHCURVE.COM, 2024

Джерела інформації

• Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)

• Вірченко Н.О. , Ляшко І.І. , Швецов К.І. Графіки функцій. Довідник / під ред. академіка АН УРСР Ляшко І.І. — Київ : Наукова думка, 1977. — 320 с.

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. (Справочное руководство). — москва : государственое издательство физико- математической литератури, 1960.

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.

• Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 168, 171–173. ISBN 0-486-60288-5.

• Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (PDF) (англ.). London: Penguin. с. 154—155. ISBN 0-14-011813-6.